常用力学公式

发布日期:[16-01-01 14:25:28] 浏览人次:[]

运动学基本公式
直线运动
s=f(t)已知时

a=f(t)已知时

B1D1D79a
匀速运动  ss0+υt
(υ=常数)
匀变速运动
(a=常数)  
υtυ0+at
自由落体运动
(υ0=0)  hgt2=υt t
υtgt
抛射运动
B1D1D79b
抛射水平位置xυ0tcosθ
抛射垂直位置
速度与加速度υx=υ0x=υ0cosθ,υy=υ0y-gtυ0sinθ-gtax=0,ay=-g
抛射到最大高度时的水平距离
抛射全程的水平距离s=2s1
抛射最大高度
抛射到最大高度的时间
抛射全程的时间t=2t1
圆周运动

B1D1D79c
匀速运动
(ω=常数)  φφ0+ωt,弧长(距离)s

at=0,an=2=
匀变速运动
(ε=常数)  φφ0+ω0t+εt2=
ωω0+εtυ


简谐运动
B1D1D79d
φφ0+ωjt
xAcosφ
υx=-Aωjsinφ
ax=-Acosφ=-ancosφ=-x=-4π2f2x
一般曲线运动
B1D1D79e
B1D1D79f
xx(t),yy(t),zz(t)


ss(t),
s0——运动开始已经走过的距离
s——运动的距离
υ——运动速度
υ0——初速度
υx——抛射运动、简谐运动动点x方向的速度
t——运动时间
a——加速度
at——切向加速度
an——法向加速度
ax——抛射运动、简谐运动动点x方向加速度
h——垂直高度
g——重力加速度
υ0x——沿x方向初速度
υ0y——沿y方向初速度
θ——抛射角度
φ——角位移
φ0——运动开始时相对某一基线的角位移
ω——角速度
ω0——初角速度
ε——角加速度
r——转动半径
n——每分钟转数
μ——加速度a与转动半径r的夹角
ωj——简谐运动角速度(圆频率)
A——简谐运动点Mo的最大距离或振幅
x——简谐运动动点离中间原点位移
T——运动周期
f——频率
ρ——质点所处位置运动轨迹的曲率半径
动力学基本公式
项  目 直  线  运  动 回  转  运  动
力和转矩 Fma  (N) T(N·m)
惯性力和惯性力矩 Fg=-ma  (N) 离心惯性力 Fgn=-2r  (N)
切向惯性力 Fgt=-mεr  (N)
Mg=-  (N·m)
WFscosβ  (J)
重力:Wmg(hA-hB)  (J)
弹力:  (J)
WT(φB-φA)  (J)
功率   (kW)   (kW)
动能 Ek=  (J) Ek=2  (J)
刚体平面运动
Ek=  (J)
 
位能 重力:Ep=mgh  (J)
弹力:Ep=  (J)
 
动能定理   (J)   (J)
机械能守恒定律 Ek+Ep=常数  (J)
(在势力场中,只有势力作功时)
 
动量或动量矩 P  (kg·m/s) L  (kg·m2/s)
冲量或冲量矩 IFt  (N·s) ItTt  (N·m·s)
动量或动量矩定理 m(υ-υ0)=Ft J(ω-ω0)=Tt
动量或动量矩守恒定律
(系统不受外力或外力矢量和为零时,系统的总动量守恒)

(系统不受外力矩或外力矩的矢量和为零时,则系统对固定轴的动量矩守恒)
两物相撞前后系统动能的变化  
碰撞后速度
 
碰撞冲量 Im1(υ1-u1)=(1+k1)×(υ1-υ2)  
惯量平行轴定律   Jz=JC'+m  (kg·m2)



m——质量,kg
υ——运动速度,m/s
ω——角速度,rad/s
a——加速度,m/s2
ε——角加速度,rad/s2
g——重力加速度,g=9.81m/s2
J——物体对回转轴线的转动惯量,kg·m2
Jmi2
i——惯性半径,m
β——力和位移间的夹角,rad
r——质点的转动半径,m
hA——物体起始位置的高度,m
hB——物体末端位置的高度,m
λA——弹簧起始位置的变形量,m
λB——弹簧末端位置的变形量,m
K——弹簧的刚度系数,N/m
φA——旋转运动开始时相对某一基线的角位移,rad
φB——旋转运动末端位置时相对某一基线的角位移,rad
υC——质心C的移动速度,m/s
JC——刚体对通过质心且与运动平面垂直的轴的转动惯量,kg·m2
h——物体距参考水平面的高度,m
λ——弹簧的变形量,m
t——作用力的作用时间,s
υ1,υ2——分别为物体1,2碰撞前的速度,m/s
u1,u2——分别为物体1,2碰撞后的速度,m/s
k1——恢复系数,
木料和胶木相撞  k=0.26
木球和木球相撞  k=0.50
钢球和钢球相撞  k=0.56
玻璃球和玻璃球相撞  k=0.94
完全弹性碰撞  k=1.0
完全塑性碰撞  k=0
Jz——物体对z轴的转动惯量
JC'——物体对平行于z轴并通过物体重心的c轴的转动惯量,kg·m2
k2——z轴与过重心的c轴的距离,m
其他符号同运动学基本公式
机械传动中转动惯量的换算
转动惯量及飞轮矩 Jmi2 J——转动惯量,kg·m2
m——物体的质量,kg
r——惯性半径,m
转动惯量J与飞轮矩(GD2)的关系
J=(GD2)/4g              (1)
J=(GD2)/4               (2)
式(1)中  (GD2)——飞轮矩,N·m2
g——重力加速度
式(2)中  (GD2)——飞轮矩,kg·m2
转动惯量的换算
i1=ω1/ω2    i2=ω2/ω3    υ3
系统总动能 EJ1/2+J2/2+J3/2+m(3)2/2
J——换算到电动机轴上的总转动惯量,kg·m2
J1,J2,J3——分别为轴1,轴2,轴3上回转体的转动惯量,kg·m2
m——吊在钢绳上移动物体的质量,kg
r——卷筒的半径,m
ω1,ω2,ω3——分别为轴1,轴2,轴3的角速度,rad/s
i1,i2,i3—轴1与轴2,轴2与轴3间的传动比
υ——移动物体速度,m/s
移动物体转动惯量的换算
转动物体换算为移动速度为υm时的当量质量
J——换算到电动机轴上的转动惯量,kg·m2
m——移动物体的质量,kg
υm——物体的移动速度,m/s
ω0——电动机角速度,rad/s
n0——电动机转度,r/min
t——丝杆螺距,m
d——与齿条相啮合的齿轮节圆直径,m
i——电动机与丝杆或齿条间的传动比
Jn——物体绕某轴转动角速度为ω时的转动惯量,kg·m2
ω——物体绕某轴转动的角速度,rad/s
n——转动物体转速,r/min
物体对某一轴线AA(平行OO)的转动惯量 J——物体对AA轴的转动惯量,kg·m2
J0——物体对通过重心OO轴线的转动惯量,kg·m2
a——OO轴与AA轴间的距离,m
一般物体旋转时的转动惯量
J——对某回转轴的转动惯量;A——图形面积;V——图形体积;m——质量;
——惯性半径;O——重心(个别重心符号另有注明);——重心坐标
图   形 公   式


直杆
B1D1D8201
直杆
b1d1d8202

圆弧杆
b1d1d8203
圆弧长l=2αR

JPO'mR2,(pO'为回转轴,该轴通过O'点与图面垂直)
U形杆
b1d1d8204
矩形杆
b1d1d8205
椭圆杆
b1d1d8206


圆环杆
b1d1d8207

JpOmR2(pO表示回转轴,该轴在圆心O与杆圆平面垂直)
ixiy=0.707R
ipOR


三角形平板
b1d1d8208


JpBJpO——回转轴分别为pBpO的转动惯量,回转轴分别过BO点与三角形平面垂直
υf——单位面积的质量
JO——回转轴在三角形平面内且通过重心O的任意轴的转动惯量,e1、e2、e3为三顶点与回转轴间的距离
矩形
b1d1d8209
Abh

pO——通过重心O,与矩形平面垂直的转轴
梯形
b1d1d8210
n边形
b1d1d8211


pO——与正n边形平面垂直的转轴
a——正n边形边长
r——内切圆半径
R——外切圆半径
圆板
b1d1d8212
A=πr2
半圆板
b1d1d8213

O为圆心,G为重心
圆环
b1d1d8214
A=π(R2-r2)

JpO=2Jx
pO——回转轴pO垂直圆环平面
扇形
b1d1d8215
Aαr2

α——弧度
pOpG——分别通过OG(重心)垂直图形平面的转轴
s——弦长,b——弧长
弓形
b1d1d8216
椭圆形
b1d1d8217
A=πab
抛物线形
b1d1d8218

设抛物线方程为
y2=2px
则面积



矩形棱柱
b1d1d8219



正立方体时,abh
正直角锥体
b1d1d8220



正三角柱
b1d1d8221

圆柱体
b1d1d8222
V=πR2h

圆筒体
b1d1d8223
V=π(R2-r2)h
直圆锥体
b1d1d8224
截顶圆锥体
b1d1d8225

圆球
b1d1d8226
空心圆球
b1d1d8227
半球
b1d1d8228


圆环
b1d1d8229
V=2π2r2R



rpO——绕pO轴旋转时的惯性半径,pO为通过O点垂直图形平面的轴
R——圆环半径
r——圆环截面半径
部分球体
b1d1d8230

球冠
b1d1d8231

椭圆截面圆环
b1d1d8232
V=2π2abR
矩形截面圆环
b1d1d8233
V=2πRah


R——圆环中径


圆柱侧表面
b1d1d8234
侧面积A=2πRh


圆柱全表面
b1d1d8235
全面积A=2πR(R+h)


圆锥侧表面
b1d1d8236
侧面积


截顶圆锥侧表面
b1d1d8237
侧面积

半球面
b1d1d8238
半球面积A=2πR2



全球面
常用旋转体的转动惯量
计算通式:              (kg·m2)
式中 m——旋转体质量,kg
k——系数,见本表
De——旋转体的飞轮计算直径,m
104-4 104-5 104-6 104-7
104-13 104-14 104-15 104-16
注:表中部分零件只给出主要尺寸,计算出的转动惯量是近似的。
主应力及强度理论公式平面应力状态下斜截面上的应力主应力最大切应力及应力圆
应 力 状 态 斜面上的应力
(σα、τα)
主应力(σ1、σ2、σ3)
及主方向角(α0)
最大切应力(τmax)
及其位置(β)
说   明
两轴应力状态(一般情况)
(1)主平面——单元体上切应力为零的平面
(2)主方向角——主平面的法线方向角称为方向角
(3)主应力——主平面上的正应力称为主应力,分别用σ1、σ2、σ3表示,其大小按代数值顺序排列为σ1>σ2>σ3
(4)作用于受力构件某点单元体上的受力图如下

σx、σy——单元体上的正应力
τx——单元体上的切应力
α——斜截面de与截面ad间的夹角,其转向由x轴起量,逆时针转为正,反之为负
σα、τα——斜截面上的应力
α0——主应力α1与x轴的夹角,即σ1的方向,叫主方向
β——最大切应力τmax作用面法线与x轴的夹角,即τmax作用面的位置,与主平面相差±45°
单轴应力状态

实例
两轴应力状态(纯剪)
σα=-τxsin2α
τα=τxcos2α
σ1=σmax=τx
σ2=0
σ3=αmin=-τx
α0=-45°
两轴应力状态(已知主平面上的应力),设σ1>σ2
同上
两轴应力状态(轴向拉(压)与纯剪切的合成)
平面应力状态单元体
110
单元体应力圆
应力圆的定义:
σα及τα式中参变量2α消去,可得到以σα及τα为变量的圆方程

σ-τ坐标系中,以坐标为圆心,以为半径作圆即为应力圆。当已知单元体上所受应力σx、σy、τx、τy时,则此两轴应力状态下任意斜面上的应力可由此应力圆上对应点的坐标求得
应力圆画法:
(1)取直角坐标系,σ为横轴,τ为纵轴
(2)根据单元体abcd已知应力(σx、τx)及(σy、τy)按一定比例尺,定出AB两点,注意应力正负应与坐标轴正负向一致
(3)连AB两点的直线交σ轴于C点,以C为圆心,CA为半径作圆,此圆即为单元体的应力圆
应力圆性质:
(1)应力圆上任一点的坐标值必对应于单元体某一截面上的应力,如应力圆上的F点对应于单元体de面上的应力σα、τα
(2)应力圆上任意两点所夹的圆心角2α,对应于单元体上与该两点相对应截面外法线的夹角α,它们转向相同,大小差两倍
(3)应力圆上的起量基点与单元体上的起量基面相对应,如应力圆上A点(σx、τx)为起量基点,则单元体上与A点相对应的截面bc为起量基面
如:由应力圆上量得斜截面上的应力为σα=OGτα=FG。主应力σ1=ODσ2=OE,主方向。最大、最小切应力为τmax=CMτmin=CN,其作用面位置为
注:1.表中各式所表示的应力都设为正,若按表所列公式算出的某应力值或偏转角为负,则其方向与图中表示的方向相反。
2.应用举例(如图1所示)某设备主轴,已知在S-S截面上由额定扭矩引起的切应力τ=1650N/cm2,主轴自重引起的弯曲正应力σ=2500N/cm2,求S-S截面上危险点C的主应力及最大切应力。并进行强度校核
                     
图1                                         图2
解 在危险点C取单元体,其上作用有切应力τx=1650N/cm2,正应力σx=2500N/cm2,如图2a。
(1)解析法:

求出最大主应力和最大切应力后,可按第三强度理论进行强度校核(许用应力)
(2)图解法:作σ-τ坐标,选取一定的比例尺,取OKσx=2500N/cm2,AKτx=1650N/cm2得A点,因σy=0,取OBτy=-1650N/cm2得B点,连接ABσ轴于C点,以C点为圆心、CA为半径作圆,此圆即为所取单元体的应力圆,如图2b,从应力圆上可以按比例尺直接量得:
σ1=OD=3320N/cm2,σ2=0,σ3=OE=-820N/cm2,2α0=∠ACD=-52.8°,α0=-26.4°,τmax=CM=2070N/cm2。
主应力及强度理论公式强度理论及其应用范围
材     料 塑性材料(低碳钢、非淬硬中碳钢、
退火球墨铸铁、铜、铝等)
极脆材料(淬硬工具钢、陶瓷等) 拉伸与压缩强度极限不等的脆性材料
或低塑性材料
(铸铁、淬硬高强度钢、混凝土等)
说明及符号意义
精确计算 简化计算
单轴
应力
状态
简单拉伸 第三强度理论(最大切应力理论),切应力造成材料屈服的原因
强度条件:σⅢ=σ1-σ3≤σp=
(σs——屈服点,下同)

第四强度理论(形状改变比能①理论),形状改变比能是引起材料屈服破坏的原因
破坏条件:

强度条件:
σⅣ=
第一强度理论(最大拉应力理论),最大拉应力引起材料正断破坏的原因
破坏条件:
σ1=σb
强度条件:
σ1=σ1≤σp=
(σb——抗拉强度,下同)
莫尔强度理论
(修正后的第三强度理论)
破坏条件:
σ1-υσ3=σb
强度条件:
σM=σ1-υσ3
σp=
第一强度理论,用于脆性材料的正断破坏(即压应力的绝对值小于拉应力) (1)各强度理论仅限于讨论常温和静载荷时的情况
(2)各强度理论仅适用于各向同性的材料
(3)σ1、σ2、σ3为三个互相垂直的主平面内的三向主应力,按其代数值规定σ1>σ2>σ3
(4)μ为材料的泊松比

(6)σⅠ、σⅡ、σⅢ、σⅣ及σM分别为相应强度理论时的相当应力
(7)表中σp为许用应力,S为安全系数,详见下一节
两轴应力状态 两轴拉伸应力(如薄壁压力容器)
一轴向拉伸、一轴向压缩,其中拉应力较大(如拉伸和扭转或弯曲和扭转等联合作用)
拉伸、压缩应力相等(如圆轴扭转) 近似用第二强度理论(最大伸长线变形理论)
最大伸长线变形εmax是引起材料正断破坏的原因

σⅡ=σ1-μ(σ2+σ3)≤σp
一轴向拉伸、一轴向压缩,其中压应力较大(如压缩和扭转等联合作用)
两轴压缩应力(如压配合的被包容件的受力情况) 第三强度理论或第四强度理论
三轴应力状态 三轴拉伸应力(如拉伸具有能产生应力集中的尖锐沟槽的杆件) 第一强度理论
三轴压缩应力(点接触或线接触的接触应力) 第三强度理论或第四强度理论
① 比能指单位体积的弹性变形能。
许用应力与安全系数载荷系数Kw的推荐值
机  器  名  称 空载起动 带载平稳
起动
带载快速
起动
起动后由摩
擦离合器加载
起动后冲
击加载
小型离心风机,车床,钻床,发电机,带式运输机等 1.2~1.3 1.2~1.4
轻型传动,片式运输机,铣床,自动机床,泵等 1.3~1.5 1.3~1.5
摩擦传动的卷扬机,绞盘,刨床及插床,刮板运输机,纺织机械,汽车等 1.3~1.5 1.4~1.6 1.5~1.7 1.4~1.6 1.8~2.5
曲柄压力机,球磨机,螺旋压力机,剪床,碾泥机,立式车床等 1.4~1.8 1.7~1.9 1.8~2.0 1.7~1.9 2.0~2.2
挖土机,起重机的起重机构等 1.1~1.25 1.2~1.3 1.3~2.0
起重机的水平移动机构 1.6~1.9 1.8~3.0
电车,电气列车,电动小车,翻车机等 1.6~1.9 1.8~2.5 2.0~2.5
碎石机,空气锤,推钢机等 2.0~2.2 2.0~2.6 2.5~3.5
有曲柄连杆机构或偏心机构的机械,从动部分有大质量及高速的由链传动带动的机械 1.3~1.9 1.5~2.2 1.8~2.5 1.5~2.2 2.0~3.0
许用应力与安全系数载荷系数Kw的概略值
机  器  类  型  举  例 Kw
旋转机械(蒸汽透平与水力透平),电动机 1.0~1.1
活塞式机械,刨床,插床,起吊装置 1.2~1.5
锻压机,切边机,冲孔机,碾碎机 1.6~2.0
机械锤,轧机,碎石机 2~3
许用应力与安全系数按公式akA+B(X-C)求得的形状系数(式中 )
有 圆 形 沟 槽 的 轴 有 台 阶 的 轴
对于 拉伸 弯曲 扭转 拉伸 弯曲 扭转
A 1.140 1.154 1.070 1.080 0.780 0.950
C 0.830 0.980 0.940 0.770 0 0.30
B
d/D 0.2 0.7201 0.5461 0.2767 0.4884 0.3689 0.1983
0.4 0.6880 0.5315 0.2691 0.4579 0.3562 0.1895
0.6 0.6340 0.5055 0.2557 0.4107 0.3346 0.1747
0.8 0.5255 0.4451 0.2246 0.3254 0.2885 0.1452
0.9 0.4105 0.3687 0.1855 0.2452 0.2359 0.1137
0.95 0.3052 0.2873 0.1442 0.1783 0.1840 0.0847
0.98 0.1960 0.1914 0.0958 0.1127 0.1215 0.0538
注:r=(D-d)/2。
许用应力与安全系数钢灰铸铁与轻金属的平均疲劳极限
材  料 拉  伸 弯  曲 扭  转
对称
σ-1t
脉动
σot
对称
σ-1
脉动
σo
屈服极限σbs 对称
τ-1
脉动
τo
屈服极限
τts
结构钢 0.45σb 1.3σ-1t 0.49σb 1.5σ-1 1.5σs 0.35σb 1.1τ-1 0.7σs
调质钢 0.41σb 1.7σ-1t 0.44σb 1.7σ-1 1.4σs 0.30σb 1.6τ-1 0.7σs
渗碳钢 0.40σb 1.6σ-1t 0.41σb 1.7σ-1 1.4σs 0.30σb 1.4τ-1 0.7σs
灰铸钢 0.25σb 1.6σ-1t 0.37σb 1.8σ-1 0.36σb 1.6τ-1
轻金属 0.30σb 0.4σb 0.25σb
许用应力与安全系数部分系数法求安全系数时各分系数的推荐值
项  目 系数 具  体  条  件 推荐值
考虑零部件重要程度 S1 零部件的破坏不会引起停车
零部件的破坏会引起停车
零部件的破坏会造成事故
1.0
1.1~1.2
1.2~1.3
考虑计算载荷及应力公式的准确性 S2 计算公式准确所有作用力及应力已知
计算所得应力比实际应力高
计算应力比实际应力低
1.0
1.0
1.05~1.65
抗拉强度(拉伸强度)极限与其他失效形式强度极限之间的关系 S3
静载荷      

循环变载荷    
考虑应力集中 S4 用有效应力集中系数Kσ, Kσ
考虑截面尺寸增大 S5 由尺寸系数ε求得,
1/ε
考虑表面加工情况 S6 由表面系数β求得,
1/β
检验质量的系数 S7 成批产品抽样试验
每一个零部件都检验
1.15~1.30
1.05~1.15
截面力学特性的计算公式
特 性 名 称 计 算 公 式 图  形 符 号 意 义
静矩
A——图形的全面积
y0、x0——重心与xy轴的距离
惯性矩
116-1 iyix——分别称为截面对于y轴和x轴的惯性半径(回转半径)
极惯性矩
惯性积
平行轴惯性矩间的关系 Ix1=Ix+a2A
Iy1=Iy+b2A
 
平行轴惯性积间的关系 Ix1y1=Ixy+abA 如果xy轴包括图形的对称轴,则Ixy=0,所以Ix1yabA
两轴(通过任一点O)旋转α角(以逆时针方向为正)后 惯性矩的关系 116-3  
惯性积的关系
主形心轴的方位角α0 通过截面形心并且有一定方位角α0的两个互相垂直的轴x0和y0称为主形心轴。此时,截面对主形心轴x0和y0的主形心惯性矩,一个为最大,另一个为最小,而且惯性积必等于零
主形心惯性矩
各种截面的力学特性
111
112
113
114
115
116
117
118
注:1.表中Ix、Iy均为轴惯性矩;Ip为极惯性矩。
2.表中α单位为度。
杆件计算的基本公式
载  荷  情  况 计  算  公  式
等截面直杆中心拉伸和压缩
B1D1D93A
纵向力作用下的正应力:


横向应变:ε1=-με
剪切
b1d1d93b
横向力作用下的切应力:
  (假定横截面上切应力 τ 均匀分布)
切应变:
  (纯剪切的虎克定律)
等直圆轴与圆管的扭转
b1d1d93c
扭矩作用下的切应力:

最大扭转角:

,单位(º)/m,(此式中Mt、GIt中所包含的长度单位应用“cm”)
直杆横向平面弯曲
b1d1d93d


通常情况下,对于一般细长的梁,仅根据梁的最大弯矩按正应力强度条件选择应有的截面就可以。只有下列情况时才须校核梁的切应力:
1.高度较大的铆接或焊接的组合梁,其梁的腹板上的切应力要校核
2.跨度短载荷大,或很大载荷均作用于支座附近
3.材料抗剪强度比弯曲强度小得多(如木材)
直杆斜弯曲
b1d1d93e
弯矩作用平面与截面主轴线x-xy-y不重合时,弯矩的合应力:

上式是指工程中常用截面,即有棱角的对称截面,这类截面上最大拉应力与最大压应力相等,恒发生在距中性轴最远的棱角上。拉应力取“+”,压应力取“-”。最大应力所在点无切应力,所以按正应力进行强度计算对钢制梁其拉伸与压缩的许用应力相等,所以强度条件:

简化为
直杆拉伸(或压缩)与弯曲
b1d1d93f
拉力(或压力)与弯矩联合作用下的正应力:

(拉应力取+,压应力取-)
圆直杆的弯曲与扭转
b1d1d93g
弯矩与扭矩联合作用时,最大应力分别为(危险点在上下边缘)

合成正应力(相当应力):
曲杆弯曲
b1d1d93h
(用于;当时仍
按直杆弯曲计算;与切力Q对应的
切应力一般很小,可略去不计)
曲杆任意截面mn上  法向力:NPsinθ
弯矩:MPR0sinθ;曲杆内外边缘的正应力:

(如P力方向与图相反,式中前后二项的正负号应相反,括号中符号不变)
中性轴曲率半径r可按表不同形状截面中性层和形心层的曲率半径值中公式计算
对于圆截面和矩形截面,亦可按下式大略计算

式中系数k1,k2由下表查出
截面 系 数
1 1.5 2 3 4 5 6
k1 0. 73 0.82 0.86 0.91 0.93 0.95 0.96
k2 1.6 1.36 1.26 1.17 1.12 1.09 1.08
126-5 k1 0.75 0.82 0.86 0.92 0.96 0.97 0.98
k2 1.53 1.29 1.21 1.12 1.09 1.06 1.05



P——纵向力
E——材料拉压弹性模量
A——横截面面积
σtp——材料抗拉许用应力
σcp——材料抗压许用应力
σp——材料许用应力
μ——泊松比
l——杆件原长(或杆件长度)
Q——剪力
τp——材料许用切应力
φp——许用扭转角,单位为(º)/m

Mt——扭矩
Wt——抗扭截面模数

It——抗扭惯性矩,等于圆面积对于形心的极惯性矩Ip,即

α——圆管内外圆直径之比
Q′——横截面上的切力
b——横截面上,在所求切应力处的宽度
Sx——横截面上切力τ所在的横线至边缘部分的面积对中心轴的静矩
Mb——弯矩
y——截面中任意一点至中性轴x-x的距离
ymax——截面边缘至中性轴的距离
Ix——截面对x-x轴的抗弯惯性矩
I——对于中性轴的惯性矩
Wx——截面对x-x轴的抗弯截面模数
Wy——截面对y-y轴的抗弯截面模数
W——抗弯截面模数
q——一段杆件上的均布载荷
S0——中性轴以上或以下的这部分横截面面积对于中性轴的静矩
b0——截面沿中性轴的宽度
α——载荷平面与截面主轴x-x间的夹角
M——作用在杆件上的力矩
Mmax——杆件上受的最大弯矩
σIV,σ1——根据第四强度理论和第一强度理论的合成正应力
h1——截面外边至中性轴距离
h2——截面内边至中性轴距离
R0——截面形心轴曲率半径
R1——截面外边缘曲率半径
R2——截面内边缘曲率半径
θ——截面mn与作用载荷的夹角
r——中性轴曲率半径
不同形状截面中性层和形心层的曲率半径值
截  面  形  状 中性层的曲率半径r
形心层的曲率半径R0
B1D1D94A
C——截面形心:K——曲率中心
(全表相同)
b1d1d94b
b1d1d94c
b1d1d94d

非圆截面直杆自由扭转时的应力和变形计算式(线弹性范围)

式中 Mt———扭矩;G———切变模量;It、Wt———截面抗扭惯性矩和抗扭截面系数
截面形状与扭转切应力分布 It Wt 附  注
矩形(b/a≥1)
b1d1d95a
b/a 1 1.2 1.5 1.75 2 2.5 3 τmax在长边中点A、短边中点B的应力为
τB=γτmax
α 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267
β 0.141 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263
γ 1.0 0.930 0.860 0.820 0.795 0.766 0.753
b/a 4 5 6 8 10  
α 0.282 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333  
β 0.281 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333  
γ 0.745 0.744 0.743 0.742 0.742 0.742  
空心矩形
b1d1d95b
正多边形
(边长为a)
τmax在各边中点
开口薄壁截面
b1d1d95c
切应力沿厚度线性分布
Wt=It/tmax τmax发生在各狭条矩形中厚度最大处的周边上
式中 si——第i个狭矩形(直的或弯的)的长度
ti——第i个狭矩形的厚度
tmax——各狭矩形中的最大厚度
η——修正系数
空心椭圆
b1d1d95d
τmax在A点、B点应力为
注:截面周边各点切应力方向与周边相切,凸角点切应力为零,凹角点有应力集中现象。
受静载荷梁的内力及变位计算公式
符  号  意  义  及  正  负  号  规  定 简   图
P——集中载荷
q——均布载荷
R——支座反力,作用方向向上者为正
Q——剪力,对邻近截面所产生的力矩沿顺时针方向者为正
M——弯矩,使截面上部受压,下部受拉者为正
θ——转角,顺时针方向旋转者为正
f——挠度,向下变位者为正
E——弹性模量
I——截面的轴惯性矩

abc——见各栏图中所示
简   图 支座反力、
支座反力矩
区段 剪  力 弯  矩 挠  度 转  角
RBP
MB=-Pl
  Qx=-P Mx=-Px
RBP
MB=-Pb
AC Qx=0 Mx=0  
CB Qx=-P Mx=-P(x-a)
RBnP
     
RBql
  Qx=-qx

RBqc
MB=-qcb
AC Qx=0 Mx=0
CD Qx=-q(x-d)
DB Qx=-qc Mx=-qc(x-a)
 

 


AC
CB
RB=0
MBMx=-M
  Qx=0 Mx=-M


ω值见表梁分段的比值及ω的函数表;
abc——见各栏中所示
简   图 支座反力、
支座反力矩
区段 剪  力 弯  矩 挠  度 转  角
RARB AC


CB    
RA
RB
AC
CB Mx=Pa(1-ξ)
MC=Mmax=



RARBP AC Qx=P Mx=Px
CD Qx=0 MxMmax=Pa
     

AC

CD
DB
ac
    n为奇数:

n为偶数:
n为奇数:

n为偶数:
    n为奇数:

n为偶数:
n为奇数:

n为偶数:
 


RARB
qa
AC Qx=q(a-x)
CD Qx=0
RARB
AC
CD
   

AC
CD
DB
     
RARBqc AC Qx=qc Mx=qcx
CD
DE Qx=0 Mx=Mmax=qcb
     

 

x=0.519l2

AC
   
AC
CB
      ab
  Mx=M(1-ξ)
Mmax=M

M0=M2-M1
 
M1>M2:
Mmax=M1


AC Mx=
MC左=
CB Mx=-
MC右=-
     

ω值见表梁分段的比值及ω的函数表;
abc——见各栏图中所示
简   图 支座反力、
支座反力矩
区段 剪  力 弯  矩 挠  度 转  角

AC
CB
   

x=0.447l


AC Qx=RA Mx=RAx
CB Qx=RA-P MxRAx-P(x-a)
     


AC QxRA MxRAx
CD QxRA-P MxRAx-P(x-a)
DB QxRA-2P MxRAx-P(2x-l)
    MCMmax=RAa


 

x=0.422l


RBqc-RA
MBRAl-qcb
AC QxRA MxRAx
CD QxRA-q(x-d)
DB QxRA-qc MxRAx-qc(x-a)
     


 
x=0.447l:
Mmax=0.0298ql2

x=0.447l



 
x=0.329l
Mmax=0.0423ql2

x=0.402l



AC x=0.415l
Mmax=0.0475ql2
x=0.430l

 
MAMmax=M



AC QxRA
CB
 
MC右=Mmax
M+MC左
 

ω值见表梁分段的比值及ω的函数表;
abc——见各栏图中所示
简   图 支座反力、
支座反力矩
区段 剪  力 弯  矩 挠  度 转  角

AC

反弯点在

 
b1d1d9642 RARBP
AC QxP MxPl(ξ-ωRα)  
CD Qx=0  
       
b1d1d9643


AC QxRA MxMA+RAx  
CB QxRA-P MxMA+RAx-P(x-a)  
   
ab,当
 
b1d1d9644
    n为奇数:

n为偶数:
n为奇数:

n为偶数:
 
b1d1d9645
    n为奇数:

n为偶数:
n为奇数:

n为偶数:
 
b1d1d9646
 

反弯点在x=0.211l
x=0.789l

 
b1d1d9647 RARBqa
AC  
CD Qx=0  
       
b1d1d9648
AC  
CD  
     
b1d1d9649
RBqcRA

AC QxRA MxMA+RAx  
CD QxRA-q(x-d)  
DB QxRA-qc MxMA+RAx-qc(x-a)  
       
b1d1d9650


 
x=0.548l
Mmax=0.0214ql2

x=0.525l
 
b1d1d9651
AC  
   
b1d1d9652
AC  
CD
b1d1d9653

AC QxRA MxMA+RAx  
CB MxMA+RAx+M
 
 
5.带悬臂的梁 b1d1d9654aa b1d1d9654a
简   图 支座反力、
支座反力矩
区段 剪  力 弯  矩 挠  度 转  角
b1d1d9655 RAP(1+λ)
RB=-
MA=-Pm
AC Qx=-P Mx=-Px
xm+0.423l时:


AB QxRA-P Mx=-Px+P
(1+λ)(x-m)
b1d1d9656 RARBP
MAMB=-Pm
AC Qx=-P Mx=-Px
xm+0.5l时:

AB Qx=0 Mx=-Pm
b1d1d9657
AC
AB
Qx=-qx
QxRA-qx


b1d1d9658

AC Qx=-qx
xm+0.423l时:


AB
b1d1d9659 RARBqm
AC Qx=-qx
xm+0.5l时:

AB Qx=0
     
b1d1d9660

MA=-Pm
AC Qx=-P Mx=-Px


AB Mx=-Px+
RA(x-m)
     
b1d1d9661


AC
AB
Qx=-qx
QxRA-qx


m=0.707l时:
MB=0

b1d1d9662


AC Qx=-qx
AB QxRA-qx
b1d1d9663

MAM
AC Qx=0 MxM

AB Mx=-RA(x-m)+M
6.双跨、三跨梁
b1d1d9664
OA    
    MOMB=0

DEACFG
两支点中间:

x=0.421l处:
 
b1d1d9665
RA=(q1l1+q2l2)
-(RO+RB)
OA    
    MOMB=0


   
b1d1d9666


    MOMC=0

   
b1d1d9667
OA    
AB    
    MOMD=0
x=0.447l处:

 
b1d1d9668
RB
P1+P2-(RO+R2)
    MOMD=0


   
单跨刚架计算公式 (引起刚架内侧拉伸的是正弯矩)
N=2k+3

149-1

149-3


MP=(1-β)(Pb+MB)

150
150-2
150-4


μ=1+6k+m
151-4
μ=1+6k+m
151-3
a)载荷在构件CD

b)载荷在构件AB
151-6 I1=I3
MAMBMCMD
接触应力计算公式
接  触  体  的  形  式 接触椭圆方程
Ax2+By2=的系数
接触面中心最大接触压应力σmax
(当接触体E1=E2=E
μ1=μ2=0.3 时)
接 触 简 图 接触体尺寸 A B
半径为R1及R2的两球 image076
152-1 半径为R1的球及半径为R2的球面
半径为R的球及平面(R2=∞)
152-3 半径为R1的球及半径为R2的圆柱体(R2>R1)
半径为R1的球及半径为R2的圆筒槽(R2>R1)
152-5 半径为R1的球及半径为R2及R3的环形槽(球珠滑轮)(R2>R3)
半径为R1及R2的滚柱及半径为R3及R4的环形槽(R4>R2)
153-1 成十字形的半径为R1及R2的二圆柱体(R2>R1)
半径为R1、r1的滑轮槽及半径为r的圆柱体
E'——滑轮的弹性模量,kgf/cm2
ab——根据辅助角θ查本表,辅助角按下式计算
153-3 半径为R1及R2的二轴相平行的圆柱体
半径为R1及R2的二轴相平行的圆柱体与圆柱凹面
153-5 半径为R的圆柱体及平面(R2=∞)
系   数  α  值
α α
1.0 0.388 0.2 0.716
0.9 0.400 0.15 0.800
0.8 0.420 0.1 0.970
0.7 0.440 0.05 1.280
0.6 0.468 0.02 1.800
0.5 0.490 0.01 2.271
0.4 0.536 0.007 3.202
0.3 0.600    
系  数  b  值
θ 90° 80° 70° 60° 50°
a 1 1.128 1.284 1.486 1.754
b 1 0.893 0.802 0.717 0.641
θ 40° 30° 20° 10°
a 2.136 2.731 3.778 6.612
b 0.567 0.493 0.408 0.319 0
接  触  体  的  强  度  校  核
计算出σmax后,按下式进行强度校核:
σmax=σHP
式中 σHP——许用接触应力,与材料及其热处理情况、点接触还是线接触、动接触还是静接触有关,见表许用接触应力、重型机械用钢的许用接触应力、润滑一般的走轮类零件的许用接触应力。
注:表中 为弹性模量;μ 为泊松比。
许用接触应力
静载荷作用下接触面上的许用接触应力 一开始为线接触时 材料牌号 强度极限
/MPa
布氏硬度
/HB
接触面许用接触应力σHP/MPa
30 500 180 σHLP(许用线接触应力) 850~1050
40 580 200 1000~1350
50 640 230 1050~1400
50Mn 660 240 1100~1450
15Cr 750 240 1050~1600
20Cr 850 240 1200~1450
10CrV   240 1350~1600
GCr15   3800
一开始为
点接触时
  σHPP=(1.3~1.4)σHLP
σHPP——许用点接触应力
接  触  应  力  实  例 起重机车轮(与钢轨),材料35 1700(点接触),750(线接触)
铁路钢轨 800~1000(线接触)
翻车机(翻转火车箱)滚圈,材料35 750(线接触)
火车轮,表面硬度HB310 2100
烧结机的环状冷却机的球形支承材料14MnMoVNb 1500
滚动轴承GCr15 2300~5000
汽车转向器中的螺杆滚子轴承 5000
润滑良好的凸轮  HB300~500 770~1300
润滑一般的走轮,材料45,调质HB215~255 440~470
润滑一般的走轮,材料35SiMn,调质HB215~280 490~540
润滑一般的走轮,材料38SiMnMo,调质HB195~270 500~540
润滑一般的走轮,材料42MnMoV,调质HB220~260 500~550
润滑一般的走轮,材料40Cr,调质HB240~280 530~550
注:本表仅供参考。
重型机械用钢的许用接触应力
钢  号 热处理 截面尺寸
/mm
许用面压应力
/MPa
许用接触应力
/MPa
35 正火
回火
≤100 130 380
>100~300 126 360
>300~500 122 330
>500~750 120 325
>750~1000 118 310
调质 ≤100 140 430
>100~300 134 400
20SiMn 正火
回火
400~600 130 380
>600~900 126 360
>900~1200 124 350
35SiMn 调质 ≤100 176 545
>100~300 169 525
>300~400 164 500
>400~500 160 490
42SiMn 调质 ≤100 176 545
>100~200 171 530
>200~300 169 525
>300~500 160 490
38SiMnMo 调质 ≤100 182 565
>100~300 179 555
>300~500 175 540
>500~800 164 500
37SiMn2MoV 调质 ≤200 187 525
>200~400 185 490
>400~600 182 465
45 正火
回火
≤100 140 430
>100~300 136 415
>300~500 134 400
>500~700 130 380
调质 ≤200 158 470
20MnMo 调质 100~300 142 445
>300~500 134 400
42MnMoV 调质 100~300 182 565
>300~500 179 555
>500~800 175 540
18MnMoNb 调质 100~300 175 540
>300~500 169 525
>500~800 155 475
30CrMn2MoB   100~300 186 590
>300~500 185 580
>500~800 183 570
35CrMo 调质 ≤100 179 550
>100~300 175 540
>300~500 169 525
>500~800 164 500
40Cr 调质 ≤100 179 550
>100~300 175 540
>300~500 169 525
>500~800 155 475
注:表中的许用应力值,仅适用于表面粗糙度为Ra6.3~0.8μm的轴,对于Ra12.5μm以下的轴,许用应力应降低10%;Ra0.4μm以上的轴,许用力可提高10%。
润滑一般的走轮类零件的许用接触应力
材  料 热处理 硬度
/HB
许用接触应力
/MPa
35 正火 140~185 320~380
调质 155~205 400~430
45 正火 160~215 380~430
调质 215~255 440~470
20SiMn 正火 350~380
35SiMn 调质 215~280 490~540
42SiMn 调质 215~285 500~540
38SiMnMo 调质 195~270 500~540
37SiMn2MoV 调质 240~290 500~560
42MnMoV 调质 220~260 500~550
18MnMo 调质 190~230 480~540
18MnMoB 调质 240~290 500~580
30CrMn2MoB 调质 240~300 570~590
35CrMo 调质 220~265 500~550
40Cr 调质 240~285 530~550
215~260 480~530
动荷应力惯性力引起的动应力
运动
状况
实    例 计  算  公  式
构件作等加速运动 起重机吊索以等加速上升

Δlk=ΔlsKk

强度条件σkmax=Kkσsmax≤σp(以下均同)
构件作等角速转动 杆轴与旋转轴平行的构件,如图示绕 CD 轴旋转的 AB 铰接杆
156-1
对于AB

对于ACBD杆,除计算出自身的惯性应力外在杆端部需附加AB梁引起的集中力
绕中心轴旋转的薄壁圆环
圆环横截面上的应力
σk=ρω2R2=ρυ2
直径变形

圆环圆周速度υ与应力σk的关系表(ρ=7.85×103kg/m3)
υ/m·s-1 25 50 75 100 150 200 250 300
σk/GPa 4.9 19.6 44.2 78.5 176.6 314.0 490.6 706.5
以直径为旋转轴的薄壁圆环
157-1
圆环AB截面上的应力
构件作等角加速度转动 飞轮轴受Mt作用使飞轮以等角加速度ε转动
轴横截面上最大切应力
构件作变加速运动 机车车轮连杆
157-3
当连杆与曲柄垂直时应力最大
构件作平面运动 发动机连杆
当连杆与曲柄垂直时应力最大
注:σk—动应力;σs—静应力;σp—许用应力;α—加速度;ω—角速度;ε—角加速度;ρ—构件材料的密度;A—横截面面积;W—抗弯截面模量;Wt—抗扭截面模量;I0—转动惯量。
动荷应力冲击载荷计算公式
冲击形式 实  例 最 大
静变形
δs
未考虑被冲击物质量时 未考虑被冲击物质量时修正系数α
最大冲击变形δk 动荷系数
最大冲击
应力δk



δk=δsKk
E——弹性模量
(下同)
A——杆截面积
(下同)
158-1  




I——截面惯性矩
(下同)
158-3  



158-5



159-1

It——抗剪惯性矩
G——切变模量
 
转轴突然刹车
  n——转轴转速,r/min  

在很短的时间内(作用时间小于受力构件的基波自由振动周期的一半)以很大速度作用在构件上的载荷,称为冲击载荷。其应力与变形的计算相当复杂。计算时一般按机械能守恒定律作如下简化:
1.当冲击物的质量比被冲击物质量大5~10倍以上时,被冲击物的质量可略去不计
2.冲击物的变形略去不计,视为刚体。被冲击物的局部塑性变形也不计,视为弹性体
3.冲击物在冲击时的弹性回跳量略去不计,冲击应力波引起的能量损耗不计,冲击动荷系数计算公式为:
(1) 已知冲击物冲击前的高度H,则
(2) 已知冲击物以速度υ作用于被冲击物,则
从前两公式可知,当H=0或υ=0,即载荷突然全部加于构件,称为突加载荷,此时Kk=2
(3) 已知冲击物的动能Tk,则

Us——被冲击物在静载荷作用下的变形能
若被冲击物的质量较大需加以考虑时,被冲击物的变形以波的形式传播,称为应力波或应变波,作为简化计算,可在动荷系数中乘以修正系数α,即

m'——被冲击物的质量
m——冲击物的质量
动荷应力振动应力
振动情况 自  由  振  动
实  例
振动应力计算公式
振动情况 有 阻 尼 强 迫 振 动
实  例
振动应力计算公式
注:σk—振动应力;σs—静应力;A—振幅;δs—静变形;δp—干扰力P按静载荷作用产生的变形;Q—静载荷;P—离心惯性力;Psinωt—惯性力垂直分量;β—放大系数;p—干扰力频率;ω—振动系统固有频率;n—阻尼系数。
厚壁圆筒、等厚圆盘及薄壳中的应力厚壁圆筒计算公式
荷载类型与应力分布图 半径为r的圆柱面上点的主应力σr—径
向应力,σt—切向应力,σz—轴向应力
半径为r的圆柱面上点的径向
位移△r,沿长度l方向的位移△l
承受内压p作用的圆筒

圆筒长度为l(下同)

σz=0—(开口圆筒)
开口圆筒

封闭圆筒
承受外压p作用的圆筒

σz=0—(开口圆筒)
开口圆筒

封闭圆筒
同时承受内压p1和外压p2作用的圆筒


σz=0—(开口圆筒)
开口圆筒

封闭圆筒
荷载类型与应力分布图 危险点的主应力;危险点的相当应力
(kr1/r2)
承受内压p作用的圆筒

圆筒长度为l(下同)

r2→∞,k→0时,根据第三强度理论有σⅢ=σ1-σ3≤σp
强度条件为

说明即使很厚的圆筒,其内压也不能超过一定的限度
承受外压p作用的圆筒
同时承受内压p1和外压p2作用的圆筒
注:1.当外径与内径之比d2/d1>1.1时,一般按厚壁圆筒计算。
2.σⅢ、σM分别为按第三强度理论和莫尔强度理论计算的相当应力。
3.σbt、σbc分别为拉伸和压缩时的强度极限;S为安全系数;σpt、σpc分别为拉伸与压缩时的许用应力;Eμ分别为弹性模量和泊松比。
4.从表可知,单纯增加壁厚并不能提高内压圆筒的承载能力,而且增加壁厚将使圆筒内、外侧的应力相差更大,使圆筒外侧的大部分材料不能充分利用。为了有效地提高承载能力,可采用过盈配合的方法制成组合圆筒。
5.内压厚壁圆筒的压力容器的计算,按钢制压力容器标准(GB 150—1998)计算,外压厚壁圆筒要考虑筒体的稳定性。
厚壁圆筒、等厚圆盘及薄壳中的应力等厚旋转圆盘计算公式
  应  力  公  式 最  大  应  力



当外表面不存在压力,仅考虑离心力径向应力

切向应力
最大应力发生在盘中心处(r=0)







最大径向应力发生在处,最大切向应力发生在中心孔内径上(rr1)


r1→0,中心孔处的切向应力比实心盘中心处的应力约大一倍
强度校核 按第三强度理论,当σt和σr同号时,取其中绝对值较大者作为相当应力σⅢ,强度条件为σⅢ<σp
σt和σr异号时,则相当应力取两者之差,强度条件为σⅢ=(σt-σr)≤σp
注:μ—泊松比;ρ—圆盘材料密度;ω—旋转角速度;r2—圆盘外圆半径;r1—圆盘中心孔半径;r—圆盘内任一点处半径;σp—许用应力。
厚壁圆筒、等厚圆盘及薄壳中的应力薄壳中应力与位移计算公式
p——压力
q——单位荷载
σm和σt——径向和环向应力(拉伸时为正)
h——壳体厚度
R——壳体横截面中面的半径
EμρM——分别为壳体材料的弹性模量、波桑系数和密度
ω——壳表面垂直方向上的位移(离开壳体轴线或中心者为正)
ρ——液体密度
g——重力加速度
类      型 公      式
承受均匀内压的球罐

装满液体并且在半径为Rsinα0处支承之球罐
162-1
内压 pρgR(1-cosα)



装满液体的球形容器,边界上自由支承
内压pρgR(cosφ-cosβ)


φ=0时,

φβ时,

外轮廓圆周半径的改变量
装满液体的圆锥壳,边界上自由支承
163-2




轮廓圆周半径的改变量
装满液体的圆柱壳,上边自由支承

带有锥底的圆柱壳,装满液体
163-3
锥底中的应力


HHk/3,则

HHk/3,则

HHk,则

HHk,则
自重作用下的球形拱,拱边自由支承

φ=51°50'时,σt=0;
0<φ<51°50'时,σt<0;
φ>51°50'时,σt>0
在自重作用下圆锥壳,边界自由支承
164-2
距离边界较远处

边界(xl)处的径向位移

带底的长圆柱壳,承受均匀内压
离开边界较远处


带有球底的圆柱壳,装满液体
164-3
球底中的应力




对于半球底(HC=R)
注:1.当外径与内径之比 d2/d1≤1.1时按薄壳计算。
2.表中计算系“薄膜理论”方法。如仅在边界处考虑弯矩、扭矩及剪切力的影响,而在离开边界稍远部分仍用薄膜理论计算,这种近似计算方法称为“边缘效应”方法,可参考有关书籍。
平板中的应力矩形平板计算公式(ab)
支承与载荷特性 中心挠度 中心应力 长边中心应力
周界铰支,整个板面受均布载荷q  
165-1 周界固定,整个板面受均布载荷q
周界铰支,中心受集中载荷P 载荷作用点附近的应力分布,大致和半径为0.64b中心受集中力的圆形平板相同
165-3 周界固定,中心受集中载荷P  
两个对边简支,第三边固定,第四边自由,整个板面受均匀载荷
最大挠度在自由边的中点A
  最大弯曲应力发生在长边中心的A点及B点处
A点处:

B点处:
两个对边简支,第三边固定,第四边自由,自由边中心受集中载荷P
166-1
ab时,受力点的挠度
  ab时,受力点的计算应力
注:1.负号表示上边纤维受拉伸。
2.系数c0~c9及αβ1、β2见矩形平板系数表(ab)和系数αβ1,β2的数值。
平板中的应力矩形平板系数表(ab)
c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9
1.0 0.0443 0.2874 0.2874 0.0138 0.1374 0.1374 0.3102 0.1265 0.0611 0.7542 1.0
1.1 0.0530 0.3318 0.2964 0.0165 0.1602 0.1404 0.3324 0.1381     1.1
1.2 0.0616 0.3756 0.3006 0.0191 0.1812 0.1386 0.3672 0.1478 0.0706 0.8940 1.2
1.3 0.0697 0.4158 0.3024 0.0210 0.1968 0.1344 0.4008       1.3
1.4 0.0770 0.4518 0.3036 0.0227 0.2100 0.1290 0.4284 0.1621 0.0755 0.9624 1.4
1.5 0.0843 0.4872 0.2994 0.0241 0.2208 0.1224 0.4518       1.5
1.6 0.0906 0.5172 0.2958 0.0251     0.4680 0.1714 0.0777 0.9906 1.6
1.7 0.0964 0.5448 0.2916               1.7
1.8 0.1017 0.5688 0.2874 0.0267     0.4872 0.1769 0.0786 1.0002 1.8
1.9 0.1064 0.5910 0.2826               1.9
2.0 0.1106 0.6102 0.2784 0.0277     0.4974 0.1803 0.0788 1.0044 2.0
3.0 0.1336 0.7134 0.2424         0.1846     3.0
4.0 0.1400 0.7410 0.2304               4.0
5.0 0.1416 0.7476 0.2250               5.0
0.1422 0.7500 0.2250 0.0284     0.5000 0.1849 0.0792 1.008
平板中的应力系数αβ1,β2的数值
0 1 2 3
α 1.37 1.03 0.635 0.366 0.123 0.154 0.164 0.166 0.166
β1 0 0.0468 0.176 0.335 0.583 0.738 0.786 0.798 0.798
β2 3.0 2.568 1.914 1.362 0.714 0.744 0.750 0.750 0.750
平板中的应力圆形平板计算公式
支承与载荷特性 中心挠度 中心应力 周界应力
周界铰支,整个板面受均布载荷q

“+”号指下表面,“-”号指上表面,下同

“+、-”号同左边
周界固定,整个板面受均布载荷q
167-1

“+”号指上表面,“-”号指下表面
周界铰支,载荷均布在中心半径为r的圆面积上。比值

“+”号指下表面,“-”号指上表面
周界固定,载荷均布在中心半径为r的圆面积上。比值
167-3

“+”号指上表面,“-”号指下表面
周界铰支,中心受集中载荷P
最大拉伸应力在下表面

“+”号指下表面,“-”号指上表面
周界固定,中心受集中载荷P
167-5
最大拉伸应力在下表面

“+”号指上表面,“-”号指下表面
注:表中σr、σt表示径向应力和圆周向应力;μ为泊松比。
平板中的应力圆环形平板计算公式
支承与载荷特性 最大挠度 内、外周界处转角 内周界处应力 外周界处应力
1. σr=0 σr=0
2. 168-4   σr=0 σr=B2
  σt=A2 σt=B3
3. σr=0 σr=0
σt=A3 σr=B4
4. 168-2 θr=0 σr=A4 σr≈0
σt=A5 σt=B5
5. σr=0 σr=0
σt=A6 σt=B6
6. 168-3 σr=0 σr=A7 σr=0
σt=A8 σt=B7
7. σr=0 σr=
σt=A9 σt=B8
8. 169-1 θr=0 σr=A10 σr=
σt=A11 σt=B9
9. σr= σr=0
σt=A12 σt=B10
10. 169-3 σr= σr=B11
θR=0 σt=A13 σt=B12
11. θr=0 σr=A14 σr=B13
θR=0 σt=A15 σt=B14
12. 170   σr=A16 σr=B15
  σt=A17 σt=B16
13.   σr=0 σr=B17
  σt=A18 σt=B18
14. 170-2   中心刚性部分的转角
在内周界上
σrmax=A19
在外周界上
σr=B19
注:1.周界固定表示周界(圆柱面)相对支承可以向下或向上产生挠度,但不能旋转(亦称可动固定)。如带有不能变形的轮缘的板(下图a)就是属于外周界固定,内周界固定并支起的情况见下图b。

2.表中σr表示径向应力,σt表示圆周向应力。
3.表中挠度计算应满足下列条件:
如果圆环形板的一个或两个边缘自由支起,应该;如果板的一个或两个边缘固定,则应该
如果上述条件不能满足,则表中所引入的挠度中应附加下列由切力作用所产生的挠度

式中 G——剪切弹性模量。
4.表中P为沿周界分布的载荷;q为单位面积上的载荷分布在板的全部表面上;M0为单位长度上受的力矩,分布在板的周界上。
5.系数ABCK见表圆环形平板挠度计算系数表、表圆环形平板转角计算系数表、表圆环形平板内周界处应力计算系数表、表圆环形平板外周界处应力计算系数表、表圆环形平板的系数表。
平板中的应力圆环形平板挠度计算系数表
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13
1.25 0.341 0.00504 0.201 0.00512 0.184 0.00212 10.39 0.232 8.876 0.197 0.00128 0.0008 0.162
1.50 0.519 0.0241 0.491 0.0249 0.414 0.018 9.26 0.661 6.927 0.485 0.00639 0.00625 0.118
1.75 0.616 0.0516 0.727 0.0545 0.576 0.0523 8.433 1.100 5.604 0.707 0.0143 0.0175 0.0486
2.00 0.672 0.0810 0.901 0.0878 0.674 0.0935 7.804 1.493 4.654 0.847 0.0237 0.0331 0.0114
2.50 0.721 0.133 1.116 0.153 0.782 0.192 6.923 2.114 3.395 0.955 0.0435 0.0706 0.0915
3.00 0.734 0.172 1.225 0.2096 0.820 0.289 6.342 2.556 2.609 0.940 0.0619 0.1097 0.135
3.50 0.732 0.199 1.278 0.256 0.829 0.374 5.937 2.872 2.080 0.878 0.0782 0.146 0.158
4.00 0.724 0.217 1.302 0.294 0.827 0.448 5.642 3.105 1.704 0.802 0.0922 0.179 0.171
4.50 0.714 0.229 1.340 0.325 0.820 0.511 5.419 3.281 1.426 0.726 0.104 0.209 0.178
5.00 0.704 0.238 1.309 0.350 0.811 0.564 5.246 3.418 1.214 0.656 0.115 0.234 0.182
平板中的应力圆环形平板转角计算系数表
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K14
1.25 1.413 1.323 1.169 6.869 0.0296 3.332 2.774 0.144 42.67 40.85 1.799 37.29 34.13 1.642
1.50 1.102 0.983 0.547 4.597 0.0702 2.330 1.770 0.488 19.20 18.4 2.510 15.47 12.80 2.110
1.75 0.892 0.767 0.258 3.508 0.1000 1.712 1.250 0.936 11.64 11.45 2.749 8.894 6.649 2.136
2.00 0.741 0.621 0.110 2.922 0.119 1.307 0.945 1.436 8.000 8.200 2.777 5.900 4.000 1.998
2.50 0.540 0.441 0.0173 2.352 0.135 0.330 0.629 2.486 4.571 5.189 2.600 3.227 1.829 1.616
3.00 0.415 0.336 0.059 2.083 0.136 0.573 0.467 3.540 3.000 3.800 2.348 2.067 1.000 1.277
3.50 0.331 0.270 0.072 1.920 0.131 0.418 0.373 4.573 2.133 3.010 2.111 1.448 0.610 1.016
4.00 0.271 0.224 0.074 1.804 0.124 0.319 0.310 5.582 1.600 2.500 1.905 1.075 0.400 0.819
4.50 0.227 0.192 0.0716 1.711 0.116 0.251 0.267 6.57 1.247 2.144 1.729 0.832 0.277 0.671
5.00 0.193 0.167 0.0674 1.633 0.109 0.203 0.234 7.54 1.000 1.880 1.579 0.664 0.200 0.558
平板中的应力圆环形平板内周界处应力计算系数表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
1.25 1.1035 0.0245 1.894 0.277 0.0682 0.592 0.135 0.0456 33.33
1.50 1.240 0.0868 2.426 0.428 0.128 0.977 0.410 0.123 21.6
1.75 1.366 0.1723 2.882 0.602 0.181 1.245 0.724 0.217 17.82
2.00 1.4815 0.270 3.286 0.753 0.226 1.443 1.041 0.312 16.00
2.50 1.688 0.475 3.983 1.004 0.301 1.710 1.633 0.490 14.29
3.00 1.868 0.673 4.574 1.206 0.362 1.881 2.153 0.646 13.50
3.50 2.027 0.855 5.090 1.372 0.412 1.998 2.606 0.782 13.67
4.00 2.170 1.021 5.547 1.514 0.454 2.082 3.006 0.902 12.80
4.50 2.298 1.170 5.957 1.637 0.491 2.144 3.362 1.009 12.62
5.00 2.415 1.305 6.330 1.746 0.524 2.192 3.681 1.104 12.50
A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18
1.25 6.865 2.059 27.33 0.517 0.114 0.0343 0.0895 0.0269 0.921
1.50 7.45 2.234 15.60 0.574 0.219 0.0658 0.273 0.0819 0.677
1.75 7.85 2.355 11.82 1.47 0.316 0.0948 0.488 0.146 0.564
2.00 8.136 2.440 10.00 2.195 0.405 0.126 0.710 0.213 0.519
2.50 8.50 2.550 8.286 3.251 0.564 0.169 1.143 0.343 0.520
3.00 8.71 2.613 7.500 3.947 0.703 0.211 1.541 0.462 0.562
3.50 8.84 2.653 7.067 4.420 0.825 0.248 1.904 0.571 0.611
4.00 8.93 2.679 6.800 4.752 0.935 0.280 2.233 0.670 0.656
4.50 8.99 2.698 6.623 4.992 1.033 0.310 2.534 0.760 0.696
5.00 9.04 2.71 6.50 5.17 1.123 0.337 2.809 0.843 0.729
平板中的应力圆环形平板外周界处应力计算系数表
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9
1.25 0.827 0.194 0.0583 0.488 0.0183 0.447 0.0075 27.33 2.924
1.50 0.737 0.320 0.096 0.690 0.0526 0.596 0.0346 15.60 3.683
1.75 0.671 0.402 0.121 0.775 0.0875 0.645 0.0725 11.82 4.206
2.00 0.621 0.454 0.136 0.807 0.119 0.656 0.113 10.00 4.576
2.50 0.551 0.510 0.153 0.810 0.168 0.644 0.186 8.286 5.048
3.00 0.505 0.531 0.159 0.786 0.203 0.624 0.247 7.500 5.323
3.50 0.472 0.538 0.161 0.757 0.229 0.606 0.294 7.067 5.495
4.00 0.449 0.539 0.162 0.731 0.247 0.592 0.330 6.80 5.609
4.50 0.431 0.536 0.161 0.707 0.261 0.580 0.358 6.623 5.690
5.00 0.417 0.533 0.160 0.688 0.272 0.572 0.381 6.500 5.747
B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16 B17 B18
1.25 21.33 5.013 1.504 0.0986 0.0296 0.040 0.012 0.330 1.393
1.50 9.60 4.174 1.252 0.168 0.0503 0.110 0.033 0.352 1.347
1.75 5.818 3.485 1.045 0.218 0.0655 0.181 0.054 0.415 1.309
2.00 4.000 2.927 0.878 0.257 0.077 0.244 0.073 0.476 1.281
2.50 2.286 2.115 0.634 0.311 0.0932 0.346 0.104 0.566 1.246
3.00 1.500 1.579 0.474 0.346 0.104 0.421 0.126 0.620 1.228
3.50 1.067 1.215 0.365 0.371 0.111 0.477 0.143 0.653 1.218
4.00 0.800 0.960 0.288 0.389 0.117 0.520 0.156 0.675 1.212
4.50 0.623 0.775 0.233 0.403 0.121 0.533 0.166 0.690 1.208
5.00 0.500 0.638 0.191 0.413 0.124 0.579 0.174 0.700 1.206
平板中的应力圆环形平板的系数表
K15 A16 B19 K15 A16 B19
0.5 0.081 1.14 0.573 0.7 0.0128 0.465 0.325
0.6 0.035 0.685 0.452 0.8 0.0032 0.262 0.212
平板中的应力刚性薄板计算示例
在压强0.637MPa下操作的活塞如图所示,求活塞中的最大应力。
解  因为联系活塞上下底板的环有很大刚性,故可以将上下底板当作内边界固定并支起;外边界固定(即可动固定),故板可以弯曲,不能扭转。
板半径R=30.3cm,=6.25cm,厚度 h=2.4cm。在下板的外周界上作用有上板传来的分布力P(如图b)。该板的支承及载荷特性如表圆环形平板计算公式中11项。外周界挠度。根据,查表圆环形平板挠度计算系数表取C11≈0.115,代入公式得:

上板受的作用力有:
①加在外周界上向上的下板的作用力P
②压强q=0.637MPa在板轮缘上形成的压力P0,

活塞应力计算
③板表面上的均布载荷q=0.637MPa。
上板的支承及载荷特性如表圆环形平板计算公式中的11和12两项叠加。
在①、②两个力作用下,板外周界的挠度
在③力作用下,板外周界的挠度可按表圆环形平板计算公式中的12项公式。根据,查表圆环形平板挠度计算系数表,取C12≈0.234,代入公式得:

上下板外周界处的挠度应当相等,即f下=f上,所以

则                     P=88469N
上板的应力可根据表圆环形平板计算公式中11和12两项的应力公式计算。
内周界处的径向应力

查表圆环形平板内周界处应力计算系数表,取A14≈1.123,A16≈2.809,代入公式得:

周向应力

查表圆环形平板内周界处应力计算系数表,取A15≈0.337,A17≈0.843,代入公式得:

外周界处的径向应力

查表圆环形平板外周界处应力计算系数表,取B13≈0.413,B15≈0.579,代入公式得:

周向应力

查表圆环形平板外周界处应力计算系数表,取B14≈0.124,B16≈0.174,代入公式得:

下板按表圆环形平板计算公式中11项的公式计算。
内周界处的径向应力      
周向应力           
外周界处的径向应力      
周向应力           
故活塞中的最大应力是活塞上板内周界处的径向应力。
等断面立柱受压稳定性计算等断面立柱受压静力稳定性计算
  稳  定  条  件 说      明



安全系数法 Pc——临界载荷,见等断面立柱受压缩的临界载荷和临界应力计算,N
P——实际工作载荷,N
S——实际稳定安全系数
Ss——规定的稳定安全系数,推荐数值见常用零件规定的稳定安全系数的参考数值
A——压杆断面的毛面积,cm2
φ——折减系数,参考表中心压杆折减系数φ
σp——强度计算时材料的许用应力,N/cm2
φe——偏心压杆的折减系数,其值根据杆的柔度λε 查表偏心压杆折减系数φe(Q235,σs=235N/mm2)

e——偏心距,cm
W——断面的抗弯截面模数,cm3
折减系数法







确定压杆截面尺寸 用稳定条件进行已知压杆的稳定校核十分方便。但要计算压杆的截面积A时,因φA有关,故需采用逐次渐近法。一般第一次试算取φ1=0.5~0.6,将φ1代入上面折减系数法公式,确定毛面积A及其截面形式。按此截面计算其Imin、imin及λ值,即可求得实际的φ'1值,如φ'1和φ1差别较大,应重复计算。取φ1和φ'1的平均值进行第二次试算。第二次试算结果,得到φ'2。若φ'2和φ2仍相差较大,则进行第三次试算,取,同样得到φ'3。类推下去,直至φφ'接近为止。一般进行2~3次即可完成
等断面立柱受压稳定性计算常用零件规定的稳定安全系数的参考数值
压  杆  类  型 Ss 压  杆  类  型 Ss
金属结构中的压杆 1.8~3.0 低速发动机挺杆 4~6
矿山和冶金设备中的压杆 4~8 高速发动机挺杆 2~5
机床走刀丝杆 2.5~4 拖拉机转向机构纵、横推杆 >5
空压机及内燃机连杆 3~8 起重螺旋 3.5~5
磨床油缸活塞杆 4~6 铸铁 4.5~5.5
水平长丝杆或精密丝杆 >4 木材 2.5~3.5
注:除铸铁和木材外其余均为钢制杆。
等断面立柱受压稳定性计算中心压杆折减系数φ
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
φ
Q215
Q235
Q255
1.00 0.99 0.98 0.96 0.93 0.89 0.84 0.79 0.73 0.67 0.60
Q275 1.00 0.98 0.95 0.92 0.89 0.86 0.82 0.76 0.70 0.62 0.51
16Mn 1.00 0.99 0.97 0.94 0.90 0.84 0.78 0.71 0.63 0.55 0.46
高强度钢
σs≥
310N/mm2
1.00 0.97 0.95 0.91 0.87 0.83 0.79 0.72 0.65 0.55 0.43
铸铁 1.00 0.97 0.91 0.81 0.69 0.57 0.44 0.34 0.26 0.20 0.16
木材 1.00 0.99 0.97 0.93 0.87 0.80 0.71 0.60 0.48 0.38 0.31
110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
φ
Q215
Q235
Q255
0.54 0.47 0.40 0.35 0.31 0.27 0.24 0.22 0.2 0.18
Q275 0.43 0.37 0.33 0.29 0.26 0.24 0.21 0.19 0.17 0.16
16Mn 0.38 0.33 0.28 0.24 0.21 0.19 0.17 0.15 0.14 0.12
高强度钢
σs≥
310N/mm2
0.35 0.30 0.26 0.23 0.21 0.19 0.17 0.15 0.14 0.13
铸铁
木材 0.25 0.22 0.13 0.16 0.14 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08
注:imin查表各种截面的力学特性;μ为压杆的长度系数,见表单跨度等截面压杆的长度系数与稳定系数。
等断面立柱受压稳定性计算偏心压杆折减系数φe(Q235,σs=235N/mm2)
0.2 1 5 10 20 30 0.2 1 5 10 20 30
λ φe
0 0.865 0.563 0.199 0.105 0.053 0.035 0.930 0.720 0.277 0.147 0.075 0.050
10 0.848 0.548 0.196 0.104 0.053 0.035 0.920 0.695 0.271 0.145 0.074 0.050
20 0.831 0.529 0.193 0.103 0.052 0.035 0.900 0.662 0.263 0.141 0.072 0.049
30 0.812 0.509 0.189 0.101 0.052 0.034 0.875 0.630 0.254 0.138 0.071 0.048
40 0.788 0.487 0.183 0.100 0.052 0.034 0.830 0.597 0.243 0.135 0.070 0.047
50 0.760 0.465 0.177 0.098 0.051 0.033 0.788 0.558 0.234 0.130 0.069 0.046
60 0.730 0.442 0.171 0.096 0.050 0.033 0.736 0.523 0.224 0.126 0.068 0.045
70 0.693 0.419 0.165 0.094 0.049 0.033 0.676 0.482 0.213 0.122 0.066 0.044
80 0.651 0.396 0.159 0.092 0.049 0.033 0.630 0.446 0.203 0.118 0.065 0.043
90 0.602 0.373 0.153 0.090 0.048 0.032 0.571 0.411 0.192 0.114 0.063 0.042
100 0.549 0.350 0.147 0.088 0.048 0.032 0.530 0.379 0.183 0.110 0.062 0.042
110 0.494 0.328 0.142 0.086 0.047 0.031 0.470 0.352 0.173 0.106 0.060 0.041
120 0.443 0.306 0.136 0.083 0.046 0.031 0.431 0.320 0.165 0.102 0.059 0.041
130 0.397 0.284 0.131 0.081 0.045 0.030 0.388 0.293 0.156 0.098 0.057 0.040
140 0.354 0.262 0.126 0.079 0.045 0.030 0.348 0.271 0.149 0.095 0.055 0.040
150 0.306 0.242 0.121 0.076 0.044 0.030 0.306 0.247 0.141 0.091 0.054 0.039
160 0.272 0.225 0.116 0.074 0.043 0.029 0.272 0.227 0.134 0.087 0.053 0.038
170 0.243 0.207 0.112 0.071 0.043 0.029 0.243 0.209 0.127 0.084 0.052 0.038
180 0.218 0.192 0.108 0.069 0.042 0.028 0.218 0.191 0.120 0.080 0.051 0.037
190 0.197 0.177 0.104 0.067 0.041 0.028 0.197 0.176 0.114 0.078 0.049 0.036
200 0.180 0.164 0.099 0.065 0.040 0.028 0.180 0.165 0.107 0.075 0.048 0.035
注:对16Mn应按查本表确定φe。
等断面立柱受压稳定性计算等断面立柱受压缩的临界载荷和临界应力计算
压 杆 类 型 计 算 公 式 说       明
大柔度压杆
λλ 1
(比例极限内的稳定问题)
按欧拉公式计算
E——弹性模量,N/cm2
l——压杆全长,cm
Imin——压杆截面的最小惯性矩,cm4
λ——压杆的柔度(长细比),
imin——压杆截面的最小惯性半径cm,,查表各种截面的力学特性
μ—— 压杆的长度系数,见表单跨度等截面压杆的长度系数与稳定系数
η—— 压杆的稳定系数,见表单跨度等截面压杆的长度系数与稳定系数、表立柱的稳定系数η、表中部支撑的柱的稳定系数η
A——压杆的横截毛面积,cm2

σp——材料的比例极限,N/cm2

σs——材料的屈服极限,N/cm2
a、b——与材料力学性能有关的常数,推荐值见表直线公式系数abλ范围
对于Q235A钢λ1≈100≥λ≥λ2≈60

塑性材料压杆临界应力总图
中等柔度压杆
λ1≥λλ2
(超过比例极限的稳定问题)
按直线经验公式计算
临界应力σc=a-
Pc=σcA
小柔度压杆
λλ2
(强度问题)
按强度问题计算
其临界应力接近材料的屈服极限σs
等断面立柱受压稳定性计算单跨度等截面压杆的长度系数与稳定系数
 
一端固定
一端自由
一端铰接
一端可侧向和轴向移动,但不能转动
二端铰接 一端固定
一端可侧向和轴向移动,但不能转动
一端固定
一端铰接
一端铰接
一端可轴向移动,但不能转动和侧向移动
一端固定
一端可轴向移动,但不能转动和侧向移动
μ 2 1 0.699 0.5
η 2.467 9.87 20.19 39.48
注:本表及表立柱的稳定系数η和表中部支撑的柱的稳定系数η所列的μη是指理想支座,对实际的非理想支座应做出尽可能符合实际的修正。如考虑实际固定端不可能对位移完全限制,应将理想的μ值适当加大,对表中一端固定的情况,可分别取2.1、1.2、0.8、0.65;考虑到桁架中有节点的腹杆,其两端并非理想铰支,应降低μ值,理想μ=1时应降到0.8~0.9;又如丝杆两端滑动轴承支承,依轴套的长度l与内径d之比取如下μ值:
当两端轴承均有l/d≥3时,μ=0.5;当两端轴承均有l/d≤1.5时,μ=1.0;
当一端支承l/d≥3;另一端支承1.5<l/d<3时μ=0.6;当两端支承均有1.5<l/d<3时μ=0.75。
等断面立柱受压稳定性计算立柱的稳定系数η

P2/P1
0 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10 20 50 100
0 2.467 2.714 2.961 3.701 4.935 7.402 14.80 27.14 51.82 125.8 249.2 0
0.1 2.467 2.714 2.960 3.698 4.930 7.377 14.68 26.66 49.86 111.6 176.3 0.1
0.2 2.467 2.710 2.953 3.679 4.880 7.207 13.78 23.19 36.33 50.96 56.48 0.2
0.3 2.467 2.703 2.936 3.622 4.712 6.769 11.70 16.82 21.37 24.89 26.14 0.3
0.4 2.467 2.688 2.904 3.525 4.470 6.074 9.187 11.57 13.29 14.52 14.97 0.4
0.5 2.467 2.665 2.856 3.384 4.136 5.268 7.060 8.210 8.963 9.488 9.675 0.5
0.6 2.467 2.635 2.793 3.211 3.759 4.497 5.504 6.048 6.434 6.674 6.764 0.6
0.7 2.467 2.599 2.715 3.020 3.385 3.830 4.376 4.660 4.834 4.952 4.993 0.7
0.8 2.467 2.577 2.636 2.821 3.040 3.280 3.551 3.685 3.765 3.818 3.836 0.8
0.9 2.467 2.513 2.551 2.641 2.734 2.832 2.936 2.986 3.015 3.033 3.040 0.9
1.0 2.467 2.467 2.467 2.467 2.467 2.467 2.467 2.467 2.467 2.467 2.467 1.0
P2/P1 0.5 1 2
η 11.9 13.0 14.7
P2/P1 0.5 1 2
η 3.38 4.14 5.27
1/4 1/2 3/4 1
η 8.62 7.40 6.08 4.77

P=0,,其中η=18.5
1/4 1/2 3/4 1
η 2.28 2.08 1.91 1.72

P=0,,其中η=7.84
η=7.84 η=18.5 η=18.9 η=29.6 η=52.5 η=73.6
等断面立柱受压稳定性计算中部支撑的柱的稳定系数η
0 2.467 9.870 20.19 39.48
0.1 2.832 11.33 23.23 45.27
0.2 3.283 13.11 27.06 51.97
0.3 3.845 15.26 31.75 58.92
0.4 4.551 17.72 36.80 58.84
0.5 5.438 20.19 39.48 51.12
0.6 6.511 21.88 36.80 41.68
0.7 7.726 22.14 31.75 33.90
0.8 8.874 21.40 27.06 23.09
0.9 9.637 20.55 23.23 23.63
1.0 9.870 20.19 20.19 20.19
0 2.467 9.870 20.19 39.48
0.1 2.883 11.53 23.63 46.13
0.2 3.414 13.65 28.09 54.48
0.3 4.105 16.37 33.96 64.56
0.4 5.021 19.90 41.68 75.22
0.5 6.260 24.42 51.12 80.76
0.6 7.990 29.82 58.84 75.22
0.7 10.39 35.10 58.92 64.56
0.8 13.52 38.41 51.97 54.45
0.9 17.24 39.40 45.27 46.13
1.0 20.19 39.48 39.48 39.48
等断面立柱受压稳定性计算直线公式系数abλ范围
材  料
(σb、σs的单位为N/cm2)
a b λ1 λ2
/N·cm-2
Q235  σb≥37200;σs=23500 30400 112 105 61
优质碳钢 σb≥47100;σs=30600 46100 256.8 100 60
硅钢 σb≥51000;σs=35300 57800 374.4 100 60
铬钼钢 98070 529.6 ≥55
材  料 a b λ1
/N·cm-2  
铸    铁 33220 145.4  
硬    铝 37300 215 ≥50
松    木 3870 19 ≥59
等断面立柱受压稳定性计算压杆稳定性计算举例(1)
已知条件 解  析  说  明
某平面磨床的工作台液压驱动装置的油缸,活塞杆上的最大压力P=3980N,活塞杆长度 l=1250mm,材料为35钢,σp=220×102N/cm2,E=210×105N/cm2,稳定安全系数Ss=6,求活塞杆直径d 活塞杆的临界载荷为:Pc=SsP=6×3980=23900N
由于活塞杆直径 尚待确定,无法求出柔度 λ,无法判断使用的计算公式,现用欧拉公式试算,求出 d,然后检查是否满足欧拉公式条件。将活塞杆两端简化为铰支座,查表单跨度等截面压杆的长度系数与稳定系数,μ =1,由欧拉公式得:

Pc 的数值代入求得d=25mm
检查柔度λ 


由于λλ1,所以用欧拉公式试算是正确的。
等断面立柱受压稳定性计算压杆稳定性计算举例(2)

搓丝机连杆
已知条件 解  析  说  明
某搓丝机连杆(如图所示)工作时承受的最大轴向压力P=12×104N,已知连杆的材料为45钢E=210×105N/cm2,σs=350×102N/cm2,σp=280×102N/cm2,稳定安全系数Ss=3,校核连杆的稳定性。 先求柔度。若连杆失稳时,在 yOz 平面内弯曲,则两端可简化为铰支端,取μ=1,

若连杆失稳时在 xOz 面内弯曲,则杆两端可简化为固定端,取μ=0.5,

所以以y 轴为中性轴,失稳的临界应力较小,校核时以λy 为准。
,由于λλ1,所以不能用欧拉公式计算临界载荷。
,由表直线公式系数ab及 λ 范围查出a=461×102N/cm2,b=2.568
×102N/cm2,则

由于λ2<λλ1,故用直线公式计算临界应力
σc=a-=(461-2.568×61)×102N/cm2=304×102N/cm2
工作安全系数
故连杆满足稳定要求。
等断面立柱受压稳定性计算压杆稳定性计算举例(3)

压杆截面
已知条件 解  析  说  明
长为6m的压杆,两端简化为铰支座,压力P=440kN,压杆由两个槽钢组成(如图所示),设限定两个槽钢背与背之间的距离为100mm,许用压力σp=160×102N/cm2,试选择适用的槽钢型号。 由稳定条件
由于Aφ皆为未知量,所以用试凑法确定压杆的截面,先假设φ=0.5,

选用两个20a槽钢
A=2×28.83=57.66cm2
Ix=2×1780.4cm4
Iy=2[128+28.83(5+2.01)2]=2×1546cm4

由表中心压杆折减系数φ根据低碳钢和 λ=82,用插入法查得 φ=0.719,则压杆上的许可压力为
PAφσp=57.66×0.719×160×102=665kN
许可压力远远大于实际压力P=440kN,所以截面过大。
再假设              
选用两个16a槽钢
A=2×21.95=43.9cm2
Ix=2×866.2cm4
Iy=2[73.3+(5+1.8)2×21.95]=2×1088.3cm4

由表中心压杆折减系数φ并用插入法,λ=95.4时,φ=0.634压杆上的许可压力为
PAφσp=43.9×0.634×160×102=445kN
所以最后选用两个16a 槽钢较合适。
变断面立柱受压稳定性计算
支承及加载方式 临界力计算公式 稳  定  系  数  η
b1d1d128a 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0
0.4 2.396 2.327 2.141 1.897 1.499 0.917
0.5 2.423 2.379 2.256 2.068 1.756 1.178
0.6 2.444 2.420 2.350 2.235 2.025 1.531
0.7 2.457 2.446 2.415 2.235 2.256 1.95
0.8 2.464 2.461 2.453 2.440 2.402 2.297
b1d1d128b 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
1.00 9.87 10.94 11.92 12.46 13.04
1.25 8.79 9.77 10.49 11.17 11.79
1.50 7.87 8.79 9.49 10.07 10.71
1.75 7.09 8.01 8.62 9.13 9.77
2.00 6.42 7.33 7.87 8.46 8.40
注:稳定条件计算与等断面杆相同。
梁的稳定性矩形截面梁整体弯扭失稳的临界载荷
临界载荷计算式
载 荷 及 支 座 约 束 弯矩图及最大弯矩 系  数  c
1.支座在水平面内及垂直面内均为铰支
π
2.支座在水平面内固定,在垂直面内铰支
3.支座在水平面内及垂直面内均为铰支
181-2
BIAO130-1
η 0.20 0.30 0.40 0.50
c 4.66 4.41 4.27 4.23
4.支座在水平面内固定,在垂直面内铰支
181-3
η 0.20 0.30 0.40 0.50
c 6.68 6.60 6.50 6.47
5.支座在水平面内及垂直面内均为铰支
3.54
6.支座在水平面内固定,在垂直面内铰支
6.08
7.支座固定,另为自由端
181-6
BIAO130-3
8.支座固定,另为自由端
g=0(g表示载荷P作用位置)
b/h <1/10 1/10 1/5 1/3
c 4.01 4.09 4.32 5.03
g≠0,
P作用在轴线以上g为正,反之为负
9.支座固定,另为自由端
182-1
182-9 6.43
梁的稳定性工字形截面梁的整体弯扭失稳的临界载荷
最大弯矩临界值

最大弯曲应力临界值

式中 Г——扇形惯性矩,对工字板梁
,对型钢可查表
J——扭转相当极惯性矩,,其中板梁α=1,型钢α=1.2
横向载荷作用于翼缘,式中第二项取负号;作用于下翼缘取正号,其他符号同表矩形截面梁整体弯扭失稳的临界载荷
载荷与支座约束 弯矩图及最大弯矩值 μ c1 c2
1 c1=1.75+1.05β+
0.3β2≤2.3
当弯曲有反向曲率时,β取正值
0
182-4 182-7 1 1.35 0.55
0.5 1.07 0.42
1.0 1.70 1.42
0.5 1.04 0.84
183-2 183-8 1.0 1.04 0.42
1.0 1.13 0.45
0.5 0.97 0.29
183-5 183-10 1.0 1.30 4.55
183-6 0.5 0.86 0.82
1.0 1.30 0.64
184-1 184-3 1.0 2.05  
注:1.支座图意义,同表矩形截面梁整体扭失稳的临界载荷。
2.梁的整体稳定性条件
据我国钢结构设计规范,梁的整体稳定性条件为

式中  Mmax——梁的最大弯矩(在最大弯曲刚度平面内);
Wx——抗弯截面系数;
σp——梁的弯曲许用应力,当梁的截面厚度不超过16mm时,
σp=215MPa(Q235 钢)
σp=315MPa(16Mn,16Mnq 钢)
φs——梁的整体稳定系数。轧制普通工字钢简支梁的φs见表轧制普通工字钢梁的整体稳定系数φs。轧制槽钢的,其中hbt分别为槽钢截面的高度、翼缘宽度和厚度;l为跨长;屈服极限σs的单位为MPa。当所算得的φs<0.6,应以φ's=1.1-0.4646/φs+0.1269/代替。
梁的稳定性轧制普通工字钢梁的整体稳定系数φs
载荷情况 工字钢型号 自由长度l/m
2 3 4 5 6 7 8 9 10

















10~20 2.0 1.30 0.99 0.80 0.68 0.58 0.53 0.48 0.43
22~32 2.4 1.48 1.09 0.86 0.72 0.62 0.54 0.49 0.45
36~63 2.8 1.60 1.07 0.83 0.68 0.56 0.50 0.45 0.40


10~20 3.1 1.95 1.34 1.01 0.82 0.69 0.63 0.57 0.52
22~40 5.5 2.80 1.84 1.37 1.07 0.86 0.73 0.64 0.56
45~63 7.3 3.60 2.30 1.62 1.20 0.96 0.80 0.69 0.60








10~20 1.7 1.12 0.84 0.68 0.57 0.50 0.45 0.41 0.37
22~40 2.1 1.30 0.93 0.73 0.60 0.51 0.45 0.40 0.36
45~63 2.6 1.45 0.97 0.73 0.59 0.50 0.44 0.38 0.35


10~20 2.5 1.55 1.08 0.83 0.68 0.56 0.52 0.47 0.42
22~40 4.0 2.20 1.45 1.10 0.85 0.70 0.60 0.57 0.46
45~63 5.6 2.80 1.80 1.25 0.95 0.78 0.65 0.55 0.49
跨中有侧向支承点的梁(不论载荷作用于何处) 10~20 2.2 1.39 1.01 0.79 0.66 0.57 0.52 0.47 0.42
22~40 3.0 1.80 1.24 0.96 0.76 0.65 0.56 0.49 0.43
45~63 4.0 2.20 1.38 1.01 0.80 0.66 0.56 0.49 0.43
注:1.表中的φs适用于Q235钢,对其他牌号的钢,表中系数值应乘以235/σs,σs的单位为MPa。
2.当φs值大于0.6时,应以φ's=1.1-0.4646/φs+0.1269/代替。
线弹性范围壳的临界载荷
载 荷 与 壳 体 临  界  载  荷
轴向均匀受压的圆柱壳

D——平均直径
R——平均半径
t——厚度
(下同)

短壳,z<2.85

中长壳,z>2.85


μ为长度系数见表单跨度等截面压杆的长度系数与稳定系数
纵向对称面内受弯矩作用圆柱壳
185-1
两端受扭圆柱壳



中长壳,100≤z≤19.5(1-v2)(D/t)2=17.5(D/t)2(当v=0.3时)。ks=0.85z0.75(v=0.3,无论什么边界),考虑初始缺陷影响,建议取ks 比上式低15%
径向均匀外压球壳
185-3


经典解也适用于碟形和椭圆形封头,但式中的 应为碟形封头球面部分的内半径;用于椭圆形封头,式中 应取下表中的当量半径 r
长短半轴比
a/b
3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2
当量半径与容器外直径比
1.36 1.27 1.18 1.08 0.99 0.90 0.81 0.73 0.65 0.57
注:1.轴向受压圆柱壳的屈曲形式与长径比 l/及径厚比 R/有关。l/大、 R/小的厚长壳将发生和中心受压细长杆一样的整体屈曲;l/R/为中等数值的中长壳,将发生局部屈曲,在柱面上出现一系列凹凸菱形的褶皱;l/小、R/大的短壳,出现沿轴向成半波形的轴对称屈曲(鼓形)。
2.轴向压缩或弯矩作用下的圆柱壳,以及静水外压的球壳,初始缺陷使壳的极限承载能力显著降低,实测破坏载荷值,仅为临界载荷的(1/5)~(1/3),作为设计依据,应视壳体制造精度从试验结果中取适当值。
3.扭转或径向外压作用的圆柱壳,微小初始缺陷对极限承载能力无明显影响,仅略低于临界载荷。
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