数表与数学公式

发布日期:[16-01-01 14:02:15] 浏览人次:[]

数表二项式系数
n p
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 1                            
2 1 2 1                          
3 1 3 3 1                        
4 1 4 6 4 1                      
5 1 5 10 10 5 1                    
6 1 6 15 20 15 6 1                  
7 1 7 21 35 35 21 7 1                
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1              
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1            
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1          
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1        
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1      
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1    
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1  
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
注:例(a+b)8=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8。
数表正多边形的圆内切、外接时,其几何尺寸
47
n—多边形的边数
C—多边形的边长
R—外接圆半径
r—内切圆半径
A—多边形的面积



n C R r A
3 1.732R 3.464r 0.577C 2.000r 0.289C 0.500R 0.433C2 1.299R2 5.196r2
4 1.414R 2.000r 0.707C 1.414r 0.500C 0.707R 1.000C2 2.000R2 4.000r2
5 1.176R 1.453r 0.851C 1.236r 0.688C 0.809R 1.721C2 2.378R2 3.633r2
6 1.000R 1.155r 1.000C 1.155r 0.866C 0.866R 2.598C2 2.598R2 3.464r2
7 0.868R 0.963r 1.152C 1.110r 1.038C 0.901R 3.635C2 2.736R2 3.371r2
8 0.765R 0.828r 1.307C 1.082r 1.207C 0.924R 4.828C2 2.828R2 3.314r2
9 0.684R 0.728r 1.462C 1.064r 1.374C 0.940R 6.182C2 2.893R2 3.276r2
10 0.618R 0.650r 1.618C 1.052r 1.539C 0.951R 7.694C2 2.939R2 3.249r2
11 0.564R 0.587r 1.775C 1.042r 1.703C 0.960R 9.364C2 2.974R2 3.230r2
12 0.518R 0.536r 1.932C 1.035r 1.866C 0.966R 11.196C2 3.000R2 3.215r2
16 0.390R 0.398r 2.563C 1.020r 2.514C 0.981R 20.109C2 3.062R2 3.183r2
20 0.313R 0.317r 3.196C 1.013r 3.157C 0.988R 31.569C2 3.090R2 3.168r2
24 0.261R 0.263r 3.831C 1.009r 3.798C 0.991R 45.575C2 3.106R2 3.160r2
32 0.196R 0.197r 5.101C 1.005r 5.077C 0.995R 81.225C2 3.121R2 3.152r2
48 0.131R 0.131r 7.645C 1.002r 7.629C 0.998R 183.08C2 3.133R2 3.146r2
64 0.098R 0.098r 10.190C 1.001r 10.178C 0.999R 325.69C2 3.137R2 3.144r2
数表弓形几何尺寸
物理科学和技术中使用的数学符号(GB 3102.11—1993)
符号 意 义 及 举 例
几  何  符  号
AB [直]线段AB
[平面]角
弧 AB
π 圆周率,圆周长与直径的比
三角形
平行四边形
垂直
∥,‖ 平行,╩用于表示平行且相等
相似
全等
杂  类  符  号
等于 b,即 = b,≡用于强调这一等式是数学上的恒等
不等于 b,即 ≠ b
按定义 等于 或 以 为定义,即,也可用
相当于 b,即Δ b,例如在地图上1cm相当于10km长时,可写成1cmΔ10km
约等于 b,即 ≈ b
与 b成正比,即∝ b
比 b,即ab
小于 b,即ab
大于 b,即ab
小于或等于 b,即 ≤ b
大于或等于 b,即 ≥ b
远小于 b,即ab
远大于 b,即ab
无穷[大]或无限[大]
数字范围 ~ b
. 小数点,例如:13.59,整数和小数之间用处于下方位置的小数点“.”分开
..
% 百分比
( ) 圆括号
[ ] 方括号
{ } 花括号
〈 〉 角括号
± 正或负
负或正
max 最大
min 最小
运  算  符  号
b 加 b
b 减 b
aba·ba×b 乘以 b,数的乘号用×(×)或居中的圆点(·),如出现小数点时,数的乘号只能用叉
a/bab-1 除以 b,或被 b
a1+a2+…+an,也可记为


ap 的 次方或 的 次幂
次方,an次方根。在使用符号√或时,为了避免混淆,应采用括号把被开方的复杂表达式括起来
的绝对值,的模,也可用absa
sgna 的符号函数,对于实数 a

对于复数a,sgnaa/︱a︱=exp(iarga),a≠0
如果平均值的求法在文中不明了,则应指出其形成的方法。若容易与a的复共轭混淆时,就用
n 的阶乘,n≥1时,
n=0时,n!=1
二项式系数,
ent a,E(a) 小于或等于 的最大整数;示性a
例:ent 2.4=2,
ent(-2.4)=-3
有时也有[a]
函  数  符  号
f 函数 f,也可以表示为xf(x)
f(x)
f(xy,…)
函数 在 或在(xy,…)的值,也表示以x或以xy,…为自变量的函数f
f(b)-f(a),这种表示法主要用于定积分计算
g°f 与 的合成函数或复合函数,(g°f)(x)=g(f(x))
xa 趋于 a,用xn→a表示序列{xn}的极限为a
趋于 f(x)的极限,lim xaf(x)=b可以写成:f(x) →bxa,右极限以及左极限可分别表示为lim xa+f(x)及lim xa-f(x)
上极限
下极限
sup 上确界
inf 下确界
渐近等于,例:
O(g(x)) f(x)=O(g(x))的含义为︱f(x)/g(x)︱在行文所述的极限中是上方有界的
f/与 g/都有界时,称 f 与 是同阶的
o(g(x)) f(x)=o(g(x))表示在行文所述的极限中f(x)/g(x)→0
x 的(有限)增量

df/dx
'
Df
单变量函数 的导(函)数或微商即:
如自变量为时间 t,也可用 表示 df/dt

(df/dx)xa
'(a)
Df(a)
函数 的导(函)数在 的值,也可用

dnf/dxn
f(n)
Dnf
单变量函数 f的 阶导函数,当 =2,3时,也可用","'来代替f(n)。
如自变量是时间 t,也可用来代替d2f/dt2


多变量xy,…的函数f对于x的偏微商或偏导数,即也可用,…或fx
函数 先对 求 次偏微商,再对 求 次偏微商
uυwxyz的函数行列式,即
df 函数 的全微分
δf 函数 的(无穷小)变差
函数 的不定积分
函数 f 由 至 的定积分,分别用于沿曲线C,沿曲面S,沿体积V以及沿闭曲线或闭曲面的积分
函数 f(xy)在集合A上的二重积分
指数函数和对数函数符号
ax 的指数函数(以a为底)
e 自然对数的底,
ex,expx 的指数函数(以 e 为底),同一场合时只用一种符号
logax 以 为底的x的对数,当底数不必指出时,常用logx表示
lnx 的自然对数,lnx=logex
不能用logx代替lnx,logex
lgx 的常用对数,lgx=log10x
不能用logx代替lgx,log10x
lbx 的以2为底的对数,lbx=log2x
不能用logx代替lbx,log2x
三角函数和双曲函数符号
sinx 的正弦
cosx 的余弦
tanx 的正切,亦可用 tgx
cotx 的余切,cotx=1/tanx
secx 的正割,secx=1/cosx
cscx 的余割,亦可用cosecx
sinmx sin的 次方,其他三角函数和双曲线函数的 次方的表示法类似
arcsinx 的反正弦,y=arcsinxx=siny
-π /2≤y
反正弦函数是正弦函数在上述限制下的反函数
arccosx 的反余弦,y=arccosxx=cosy
0≤y≤π
反余弦函数是余弦函数在上述限制下的反函数
arctanx 的反正切,亦可用arctgx
y=arctanxx=tany
-π/2<y<π/2
反正切函数是正切函数在上述限制下的反函数
arccotx 的反余切,y=arccotxx=coty
0<y<π
反余切函数是余切函数在上述限制下的反函数
arcsecx 的反正割,y=arcsecxx=secy
0≤y≤π,y≠π/2
反正割函数是正割函数在上述限制下的反函数
arccscx 的反余割,也可用arccosecx
y=arccscxx=cscy,-π/2≤y≤π/2,y≠0
反余割函数是余割函数在上述限制下的反函数。上述arcsinx至arccscx各项不采用sin-1x,cos-1x等符号,因可能被误解为(sinx)-1,(cosx)-1等
sinhx 的双曲正弦,亦可用shx
coshx 的双曲余弦,亦可用chx
tanhx 的双曲正切,亦可用thx
cothx 的双曲余切,亦可用cthx,cothx=1/tanhx
sechx 的双曲正割,sechx=1/coshx
cschx 的双曲余割,亦可用cosechx,cschx=1/sinhx
arsinhx x的反双曲正弦,亦可用arshx
y=arsinhxx =sinhy
反双曲正弦函数是双曲正弦函数的反函数
arcoshx 的反双曲余弦,亦可用archx
y=arcoshxx=coshyy≥0
反双曲余弦函数是双曲余弦函数在上述限制下的反函数
artanhx 的反双曲正切,也可用arthx
y=artanhxx=tanhy
arcothx 的反双曲余切,y=arcothxx=cothyy≠0
arsechx 的反双曲正割,y=arsechxx=sechyy≥0
arcschx 的反双曲余割,亦可用arcosechxy=arcschxx=cschyy≠0
上述各项不采用sinh-1x,cosh-1x等符号,因为可能被误解为(sinhx)-1,(coshx)-1等
复  数  符  号
i,j 虚数单位,i2=-1,在电工中通常用j
Re z 的实部
Im z 的虚部,z+ iy,其中x=Re zy=Im z
z 的绝对值;的模,也可用mod z
arg z 的辐角;的相,zreiφ,其中r=︱z︱,φ=arg z即Re zrcosφ,Im zsinφ
z* 的[复]共轭,有时用代替z*
sgn z 的单位模函数,≠0时sgn zz/=exp(iarg z);z=0时,sgn z=0
矩  阵  符  号
m×n型的矩阵A,也可用A=(aij),aij是矩阵A的元素;m为行数,n为列数。当mn时,A称为[正]方阵。矩阵元可用大写字母表示。也可用圆括号代替方括号
AB
EI 单位矩阵,方阵的元素Eikδikik均为整数
A-1 方阵A的逆,AA-1=A-1AE
A的转置矩阵,(AT)ikAki或()ikAki;亦使用A'
A* A的复共轭矩阵,(A*)ik=(Aik)*=A*ik,在数学中亦常用
AH,A+ A的厄米特共轭矩阵,(AH)ik=(Aik)*=A*ki,在数学中亦常用A*
方阵A的行列式
tr A
矩阵A的范数,矩阵的范数有各种定义,例如范数=(tr(AAH))1/2
坐  标  系  符  号
坐  标 径矢量及其微分 坐标系名称 备   注
xyz rxex+yey+zez
dr=dxex+dyey+dzez
笛卡儿坐标
cartesian
coordinates
exeyex组成一标准正交右手系,见图1
ρφz rρeρ(φ)+zez
dr=dρeρ(φ)+ ρdφeφ(φ)+dzez
圆柱坐标
cylindrical
coordinates
ez组成一标准正交右手系,见图3和图4
z=0,则ρφ成为极坐标
γθφ frer(θφ),dr=drer(θφ)+
rdθeθ(θφ)+rsinθdφeφ(φ)
球坐标
spherical
coordinates
组成一标准正交右手系,见图3和图5
image001
说明:如果为了某些目的,例外地使用左手坐标系(见图2)时,必须明确地说出,以免引起符号错误。
矢 量 和 张 量 符 号
a 矢量或向量a,这里,笛卡儿坐标用xyzx1,x2,x3表示,在后一种情况,指标ijkl从1到3取值,并采用下面的求和约定:如果在一项中某个指标出现两次,则表示该指标对1,2,3求和。印刷用黑体a,书写用
a 矢量a的模或长度,也可用
ea a方向的单位矢量,eaa/
aaea
exeyez
ijkei
在笛卡儿坐标轴方向的单位矢量
axayazai 矢量a的笛卡儿分量,aaxex+ayey+azez=(axayaz);axex等分矢量
rxex+yey+2ez
a·b 与 b的标量积或数量积,
a·baxbx+ayby+azbz
a·aa2=a2,
在特殊场合,也可用(ab)
a×b ab的矢量积或向量积,在右手笛卡儿坐标系中,分量(a×b)xaybz-azby一般(a×b)i

那勃勒算子或算符,也称矢量微分算子
▽  φ
grad φ
φ的梯度,也可用grad φ
▽ 
▽·a
div a
a的散度
▽·a
▽×a
rota
curla
a旋度,气象学上称为涡度。也可用rot acurl a(▽×a)x,一般(▽×a)i
▽2
Δ
拉普拉斯算子
Δ=
达朗贝尔算子
□=
式中c为电磁波在真空中的传播速度c=299792458m/s
T 二阶张量T,也用
TxxTxy,…,Tzz
Tij
张量T的笛卡儿分量
TTxxexex+Txyexey+…,Txxexex等为分张量
abab 两矢量ab的并矢积或张量积即具有分量(ab)ijaibj的二阶张量
TS 两个二阶张量TS的张量积,即具有分量(TS)ijklTijSkl的四阶张量
T·S 两个二阶张量T与S的内积,即具有分量(T·S)ik的二阶张量
T·a 二阶张量T与矢量a的内积,即具有分量(T·a)i的矢量
TS 两个二阶张量TS的标量积,即标量TS
注:矢量和张量往往用其分量的通用符号表示,例如矢量用ai,二阶张量用Tij,并矢积用aibj等等,但这里指的都是张量的协变分量,张量还具有其他形式的分量,如逆变分量、混合分量等。
数学公式因式分解
未标题-1
数学公式行列式





二阶
行列式
a1b2-a2b1




对角线展开法
a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1
实线上三数的积取正号,虚线上三数的积取负号
四阶以上的高阶行列式不能用对角线展开法,只能采用按某一行(或列)的展开法进行计算
按某一行(或列)展开法

等式右端各项符号,按各元素在行列式中位置决定:





行、列依次对调时,其值不变
两行(或两列)对调后,其值变号
某行(或列)各元素乘以k,其值为原行列式的k
某两行(或两列)的元素对应成比例,其值为零
某行(或列)的元素都是二项式,该行列式可分解为两个行列式的和
某行(或列)所有元素乘以同一数,加到另行(或列)的对应元素上,其值不变
三阶行列式的性质可推广于高阶行列式
(三阶以上都适用)
代  数  余  子  式
元素aij的代数余子式Aij是将行列式中的第i行及第j列划去后,剩下的低一阶的行列式乘以(-1)i+j
A12=(-1)1+2
例如 中,元素a12=0,它的代数余子式A12如下:
数学公式方程的解
一次 方 程 组
  当d1=d2=d3=0时△≠0,方程组
只有零解,△=0,方程组有无穷多组解
k
一元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0
a≠0

判别式:
一元 三 次 方 程 x3-1=0
x3+ax2+bx+c=0
设其根为 y1、y2、y3,则



式中ω1和ω2是方程x3-1=0的二个解
数学公式级数
类   型 计  算  公  式
(1)等差级数
等差中项   若abc成等差数列,则称bac的等差中项,
(2)等比级数
等比中项  若ab成等比数列,则称 a的等比中项,
无穷递减等比级数的和 
(3)调和级数 ab成调和级数,则




AG分别表示二数的等差中项、等比中项与调和中项
则:AHG2
(4)某些有穷级数的前n项和
(5)某些特殊级数的和
数学公式根式
序  号 计    算    公    式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
数学公式指数
序   号 计    算    公    式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
数学公式对数
序  号 计    算    公    式
(1) a>0,a≠1,且ax=M,则叫做的以为底的对数,记作x=logaM叫真数。
(2)
(3) logaa=1
(4) loga(MN)=logaM+logaN
(5)
(6) logaMn=nlogaM
(7)
(8)
(9)
(10) a=10时,log10M记作lgM,叫常用对数。
(11) a时,logeM记作lnM,叫自然对数。
(12)
(13)
数学公式不等式
类  型 序  号 计    算    公    式




(1)
(2)
(3)
(4)
(5)






绝对值定义
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
数学公式三角函数的定义
象限 函   数
sin a cos a tan a cot a sec a csc a
+ + + + + +
+ - - - - +
- - + + - -
- + - - + -
数学公式任意角三角函数诱导公式表
函    数
sin cos tan cot sec csc
-sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
90°-α cosα sinα cotα tanα cscα secα
90°+α cosα -sinα -cotα -tanα -cscα secα
180°-α sinα -cosα -tanα -cotα -secα cscα
180°+α -sinα -cosα tanα cotα -secα -cscα
270°-α -cosα -sinα cotα tanα -cscα -secα
270°+α -cosα sinα -cotα -tanα cscα -secα
360°-α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
360°+α sinα cosα tanα cotα secα cscα
数学公式三角函数基本公式
名  称 公  式
一个角的诸函数的基本关系 sin2α+cos2α=1
sec2α-tan2α=1
csc2α-cot2α=1
sinαcscα=1
cosαsecα=1
tanαcotα=1
一函数以同一角的其他函数表示式
和差公式 sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1tanαtanβ)
cot(α±β)=(cotαcotβ1)/(cotβ±cotα)
倍角公式 sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1
sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
sin4α=8cos3αsinα-4cosαsinα
cos4α=8cos4α-8cos2α+1
积化和差公式 2sinαcosβ=sin(α+β)+ sin(α-β)
2cosαsinβ=sin(α+β)-sin(α-β)
2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)
2sinαsinβ=-cos(α+β)+cos(α-β)
和差化积公式
半角公式
函数的乘方
其他常用公式
a>0,b>0,且AB为正锐角,设,则
acosα+bsinαsin(A+α)= cos(B-α)
acosα-bsinαsin(A-α)= cos(B+α)
数学公式任意三角形常用公式
abc——边
A、∠B、∠C——边的对角
R——外接圆半径
r——内切圆半径
p——三角形三边之和之半
类    型 公      式
正弦定理
余弦定理
正切定理
面积
a边上的高
a边上的中线
A角的二等分线
外接圆半径
内切圆半径
半角公式
数学公式任意三角形边和角的公式
已    知 求其余要素的公式
一边和二角α、∠A、∠B C=180°-∠A-∠B
二边及其夹角ab、∠C

由所求的的值解出∠A和∠B
二边和其一对角ab、∠A
C=180°-(∠A+∠B)
三边abc


注:①表示如ab,则∠B<90°,这时只有一值;如ab,则(1)当bsinAa时,∠B有二值(∠B2=180°-∠B1);(2)当bsinAa时,∠B有一值即∠B=90°;(3)当bsinAa时,三角形不可能。
数学公式反三角函数
序   号 计    算    公    式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
数学公式复数
名  称 公   式
虚单位的周期性 i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n为自然数),(=i 称为虚数单位)





代数式 za+bi a 称为 的实部
b 称为 的虚部
三角式 zr(cosθ+isinθ) 称为 的模,记作︱z
θ 称为 的幅角,记作Argz
指数式 zreiθ
abrθ
的相互关系:





代数式 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i
(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i
三角式 z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),zr(cosθ+isinθ)
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
znrn(cos+isin)(棣莫佛de Moivre定理)
(n为正整数,k=0,1,2,…n-1)
指数式 z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2,zreiθ
znrnei
(n为正整数,k=0,1,2,…n-1)
欧拉(Euler)公式 eiθ=cosθ+isinθ
数学公式坐标系及坐标变换
标与极坐标
平面直角坐
坐标系 直角坐标 极坐标 图   示
点的坐
标表示
P(xy)
x—横坐标  y—纵坐标
P(ρθ)
ρ—极径  θ—极角
互换公式 xρcosθ
yρsinθ
平面 直 角 坐 标 的 变 换 变换
名称
平    移 旋    转 一 般 变 换

变换 公 式
空间 坐 标 的 互 换 公 式 坐标系 直角坐标 圆柱坐标 球坐标
点的坐标表示 P(xyz) P(ρθz) P(rφθ)
φ—纬角,θ—经角

互换 公 式 直角坐标与圆柱坐标互换
圆柱坐标与球坐标互换
直角坐标与球坐标互换
数学公式常用曲线
名称 曲  线  图 方 程 式 定义与特性 备  注



直角坐标方程
x2+y2=R2
极坐标方程
ρR,(参见一般形式的极坐标方程)
参数方程
与定点等距离的动点轨迹 圆心O(0,0)
半径 R
圆心O(ρ=0)



1-63-1 直角坐标方程
(x-a)2+(x-b)2=R2
极坐标方程
ρ2-2ρρ0cos(θ-θ0)+R2
参数方程
同上 圆心O'(ab)
半径 R
圆心O'(ρ0,θ0)

直角坐标方程

极坐标方程

(极点在椭圆中心O点)
参数方程

动点P到两定点F1、F2(焦点)的距离之和为一常数时,P点的轨迹

-axa
2a—长轴(A1A2)
2b—短轴(B1B2)
2c—焦距(F1F2)

e—离心率
e愈大,椭圆愈扁平
顶点:A1(-a,0)
A2(a,0)
B1(0,-b)
B2(0,b)
焦点:F1(-c,0)
F2(c,0)
焦点半径:
r1=PF1,r2=PF2
r1=a-exr2=a+ex


线
64-1 直角坐标方程

极坐标方程

(极点在双曲线中心O点)
参数方程

准线l1:
l2:
渐近线
动点P到两定点F1、F2(焦点)的距离之差为一常数时,P点的轨迹
x≤-axa
2a—实轴
2b—虚轴
2c—焦距

e——离心率
e愈小,渐近线与x轴的夹角愈小
顶点:
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
B1、B2叫虚顶点
焦点:F1(-c,0)
F2(c,0)
焦点半径:
r1=PF1,r2=PF2
r1=±(ex-a),
r2=±(ex+a)


线
直角坐标方程
γ2=2px(p>0)
极坐标方程

(极点在抛物线顶点O点)
参数方程

准线l
动点P到一定点F(焦点)和一定直线l( 准线)的距离相等时,动点P的轨迹 离心率e=1
顶点O(0,0)
焦点F
p——焦点至准线的距离,p愈大抛物线开口愈大,p称为焦参数,p>0开口向右,p<0开口向左
焦点半径:rPF
rx+


线
65 极坐标方程

参数方程

tα+θ
一动直线m(发生线)沿一定圆O(基圆)作无滑滚动时,m上任意点(如起始切点A)的轨迹。用于齿形等 R——基圆半径
α——压力角





线
(等


线)
极坐标方程
ραθ
动点沿着等速旋转(角速度ω)的圆的半径,作等速直线运动(线速度υ)此动点轨迹为阿基米德螺线。用于凸轮等 θ——极角

ρ——极径
O——极点
极点到曲线上任一点的弧长为



线
(等


线)
65-2 极坐标方程
ρaemθ(ma为常数,均大于零)
动点的运动方向始终与极径保持定角α的动点轨迹。用于涡轮叶片等。用对数螺线作为成型铲齿铣刀铲背的轮廓线时,前角恒定不改变 θ——极角
ρ——极径
α——极径与切线(动点运动方向)间的夹角
曲线上任意两点间的弧长为




线
参数方程
xrcosθ
yrsinθ
z=±cotβ=±
(右旋为“+”,左旋为“-”)
圆柱面上的动点M绕定轴z以等角速ω回转,同时沿z轴以等速υ平移,其动点轨迹就是圆柱螺旋线。用于弹簧等 r——圆柱底半径
β——螺旋角
h——导程
h=2πrcotβ
L——一个导程的弧长




线
65-4 参数方程
xρsinαcosθ
yρsinαsinθ
zρcosα
ρ
特性:
(1)等螺距
h=2πacosα
(2)切角与锥面母线夹角β
a——常数
α——半锥角






线
1.不等螺距
2.切线与锥面母线夹角为定角β
α——半锥角
ρ0,β——常数


线
66-1
滚动圆 O1,沿基圆  O外部相切滚动,滚动圆上某点P(或圆外P",圆内P')的轨迹
当内外摆线的→ ∞时,摆线转化为平摆线,当b→∞时,摆线转化为圆的渐开线
a——基圆半径
b——滚圆半径
θ——公转角
θ1——自转角
lO1P,当
lb,为普通摆线Г
lb,为长幅摆线Г2
lb,为短幅摆线Г1


线

滚动圆O1在基圆O内部相切滚动,滚动圆上某点P(或圆外P",圆内P')的轨迹 a——基圆半径
b——滚圆半径
θ——公转角
θ1——自转角

lO1P,当
lb,为普通摆线Г
lb,为长幅摆线Г2
lb,为短幅摆线Г1


线
66-3 xbt-lsint
yb-lcost
定圆沿定直线滚动,圆周上(或圆外,圆内)一点的轨迹 曲率半径=2PM
一拱弧长=8b
lO1P,当
lb,为普通平摆线
lb,为长幅平摆线
lb,为短幅平摆线


线
两端悬吊的密度均匀的完全柔软曲线,在重力作用下的自然状态所构成的曲线 a——正常数,即距离OA。在顶点附近近似于抛物线

数学公式几种曲面
名  称 图   形 方   程 说   明






θz为参变量
x2+y2=r2
1.由平行于z轴的直母线

z轴旋转生成
2.过点P(xyz)的切平面方程
xX+yYr2

67-1
φθ为参变量
x2+y2+z2=r2
1.由圆周

z轴回转生成
2.过点P (xyz)的切平面方程
xX+yY+zZr2




x2+y2=a2z 由抛物线

z轴回转生成





67-3
式中  tθ—参变量
直角坐标方程

柱坐标方程
z
由垂直于z轴的直母线xtyz=0绕z轴作螺旋运动生成







式中  tθ—参变量
1.由与xoy平面成定角α的直母线

z轴作螺旋运动生成
2.与垂直于z轴的平面相交截口为阿基米德螺线
3.用作蜗杆齿曲面


线


68-1
式中 θφ—参变量
1.由平面渐开线 z=0
xa(cosφ+φsinφ)
ya(sinφ-φcosφ)
z轴作螺旋运动生成
2.用作齿曲面可得等速比传动
微积分导数基本公式
函数γ
c 0
cu cu'
u±υ uυ'
'+υu'
f(u)
uφ(x)
f'(u)φ'(x)
f(x)
xφ(y)
xn nxn-1
ax axlna
ex ex
lnx
ln|x|
logax
sinx cosx
cosx -sinx
tanx sec2x
cotx -csc2x
secx tgxsecx
cscx -cotxcscx
arcsinx
arccosx
arctanx
arccotx
arcsecx
arccscx
sinhx coshx
coshx sinhx
注:1.表中yuυx的函数,c为常数。
2.微分公式:df(x)='(x)dx;df(u)='(u)du'(u)φ'(x)dx
微积分常用高阶导数公式
函  数 n  阶  导  数  表  达  式
yxm y(n)=(m)(m-1)(m-2)…(m-n+1)xm-n  m为正整数时,nmy(n)=0
yax y(n)=(lna)naxa=e 时,(ex)(n)=ex
y=lnx y(n)=(-1)n-1
y=sinx y(n)=sin
y=cosx y(n)=cos
yu(x)υ(x) y(n)=u(n)υ+nu(n-1)υ'+u(n-2)υ"+…+(n)
微积分导数与函数的增减性极值凸凹性拐点之间的关系
函  数
yf(x)
f'(x)>0 f'(x)<0 f'(x0)=0
f"(x0)>0 f"(x0)<0


单调增加

单调减少

f(x0)是极小值

f(x0)是极大值
函  数
yf(x)
f'(x0)=0
f"(x0)=0
f"(x)>0 f"(x)<0 f"(x0)=0


x渐增地经过x0时,若f'(x)由正变负(由负变正),则f(x0)是极大值(极小值)。若f'(x)不变符号,则在x0点无极值

向上凹

向下凹

x渐增地经过x0时,若f"(x)变符号,则f(x)在x0有拐点,若f"(x)不变符号,则f(x)在x0无拐点
68 69
微积分的应用平面曲线的切线和法线方程
曲线方程 曲线上点M(xy)处的 说   明
切  线  方  程 法  线  方  程
yf(x) Y-yf'(x)(X-x) Y-y(X-x) 1.XY为切线或法线的流动坐标
2.诸导数均在给定点M(xy)上计算
F(xγ)=0 F 'x(X-x)+F 'y(Y-y)=0 F 'y(X-x)-F 'x(Y-y)=0
xx(t)
γγ(t)
(X-x)(t)+(Y-y)(t)=0
微积分的应用平面曲线的曲率和曲率中心
曲线方程 曲率K,曲率半径R 曲  率  中  心  (ab)
yf(x)
xx(t)
yy(t)
ρρ(θ)
微积分的应用曲线的弧长
名称 曲线方程 弧长微分 曲线端点坐标 弧长计算公式
平面曲线 yf(x)
axb
A(af(a))
B(bf(b))
xx(t)
yy(t)
t1≤tt2
A(x(t1),y(t1))
B(x(t2),y(t2))
ρρ(θ)
θ1≤θθ2
A(ρ(θ1),θ1)
B(ρ(θ2),θ2)
空间曲线 xx(t)
yy(t)
zz(t)
t1≤tt2
A(x(t1),y(t1),z(t1))
B(x(t2),y(t2),z(t2))
微积分的应用平面图形的面积
名称 说   明 公   式 图示和面积微分





曲边yf(x),xaxbx轴围成的面积
曲边yy2(x)和曲边yy1(x)与xaxb围成的面积
y2(x)≥y1(x)  (axb)
72-1

x轴,xx(t1),xx(t2)围成的面积





曲边ρρ(θ)和射线θθ1,  θθ2围成的面积(θ2≥θ1) 72-3


D


区域D以闭曲线C为边界;当参数tt1变到t2时,点P(x(t),y(t))沿C循逆时针方向绕行一周
微积分的应用积分应用举例(一)
名  称 定义及简单情况时公式 一 般 情 况 图  示
微 分 式 积 分 式
变速直线运动的路程s sυt
υ——常量
dsυ(t)dt
t1≤tt2
液体静压力F FpA
p——压力,为常量
A——受压面积
F——总压力
dFp(x)dAwxydx
w——流体重度
p(x)=wx
axb
dAydx

式中   yf(x)
73-1
变力F作的功W WF"
F——常力
r——直线位移
dWF(x)dx
设力F方向恒定,且与位移方向一致,在一条直线上

W为由a位移到b时所作的功
力场对质点位移所作的功W dWF(xyz)dr
Xdx+Ydy+Zdz
其中 力场FX(xyz)i
+Y(xyz)j
+Z(xyz)k

位移沿曲线C,由AB








m
细线AB的质量 m=μs
μ——密度,常数(下同);
s——AB的长度
dmμ(x)ds
μ(x)——线密度
74
薄板D的质量 m=μA
A——D的面积
dmμ(xy)dA
μ(xy)——面密度
物体Ω的质量 m=μV
V——Ω的体积
dmμ(xyz)dV
μ(xyz)——体密度
74-2


M
曲线AB的静矩 质量为m的质点,对轴l的静力矩Ml
Mlrm
其中r为该质点到轴的距离
dMxyds
dMyxds
x轴的静矩:

y轴的静矩:
平面图形D的静矩 dMxydxdy
dMyxdxdy
x轴的静矩:

y轴的静矩:
立体Ω的静矩 质量为m的质点对平面π的静力矩
rm
其中r为该质点到平面π的距离
dMyzxdxdydz
dMzxydxdydz
dMxyzdxdydz
yOz平面的静矩:

xOz平面的静矩:

xOy平面的静矩:
75-2


I
平面图形D的惯矩 质量为m的质点对轴  l的惯矩Il
Ilr2m
其中r为该质点到轴   l的距离
dIxy2dxdy
dIyx2dxdy

立体Ω的惯矩 dIx=(y2+z2)dxdydz
dIy=(x2+z2)dxdydz
dIz=(x2+y2)dxdydz


电场通过曲面片S的通量Q QE·S
其中E为常场强矢量,S为以N为法线,面积为S的平面片
dQE·dS
E为变场强,dS为以N为法线的面积为dS的微分曲面片,可以表为
dS=dydzi+dzdxj+dxdyk
76-2
注:1.假设图形有密度μ=1的有质量的图形的静力矩叫做图形的静矩。
2.假设图形有密度μ=1的有质量的图形的惯性矩叫做图形的惯矩。
微积分的应用积分应用举例(二)
名   称 公  式  和  说  明 图   示
函数在区间上的平均值 曲边梯形ABCD的面积
等于矩形面积







G
平面曲线段AB的重心 77-1
——AB的重心;s——AB的弧长;——AB的静矩
平面图形D的重心
——D的重心;A——D的面积;——D的静矩
立体Ω的重心 77-3
——Ω的重心;V——Ω的体积;——Ω的静矩
注:本表是另一种类型的积分应用,它们是相应积分区域上的平均值。
常微分方程一阶微分方程
方  程  类  型 求解方法及通解
1.变量(可)分离方程
同除方程的两边,再分别积分
通解:
2.齐次方程
化原方程为变量分离型

通解:

其中  
3.可化为齐次的方程
(1)若则令xX+hyY+k

通过以上变化,方程便化为齐次方程
(2)若△=0
做未知函数变换
令  ua1x+b1y,化原方程为分离变量方程
4.线性方程

Q(x)=0,称为齐次
Q(x)≠0,称为非齐次
依型1,求其对应齐次方程

y'+P(x)y=0的通解

再利用常数变易法,令,代入非齐次方程,求得
5.伯努利方程

(n≠0,1)
利用变换,令zy1-n,化原方程为线性方程
通解:
6.全微分方程
P(xy)dx+Q(xy)dy=0
且满足
如方程左边恰好是UU(xy)的全微分,则
dUPdx+Qdy=0
通解:

(x0,y0可适当选取)
常微分方程二阶微分方程
方  程  类  型 求 解 方 法 及 通 解
1.常系数二阶齐次方程

式中   ab为实常数
y=eλx,代入原方程,得到特征方程
λ2+aλ+b=0
其根为λ1,λ2
(1)λ1≠λ2(实根)  通解  yC1eλ1x+C2eλ2x    C1,C2是任意常数(下同)
(2)λ1=λ2  通解  y=(C1+C2x)eλ1x
(3)λ1=a+βi,λ2=a-βi  通解  y=eax(C1cosβx+C2sinβx)
2.常系数二阶非齐次方程

式中   ab为常数
f(x)≠0
通解 yyc+yp
式中 yc为对应的齐次方程的通解,求解方法见型1。yp为方程的特解,可用待定系数法求得
(1)如f(x)=Pn(x)eλx,式中Pn(x)为n次多项式
特解 (a) λ不是特征根   yp=Qn(x)eλx
(b) λ是单特征根   yp=xQn(x)eλx
(c) λ是重特征根   yp=x2Qn(x)eλx
(2)如f(x)=Pn(x),相当于(1)中λ=0,求解方法与(1)相同
(3)如f(x)=keλx,相当于(1)中Pn(x)=k,求解方法与(1)相同,(kλ为常数)
(4)如f(x)=keaxcosβxleaxsinβx或eax(kcosβx+lsinβx)
式中  klaβ为常数
特解 (a) a±βi不是特征根
yp=eax(Acosβx+βsinβx)
(b) a±βi是特征根
yp=xeax(Acosβx+βsinβx)
式中  AB为待定系数
拉氏变换的定义
拉氏变换的定义:设函数f(t)当t≥0时有定义,并且,f(t)是连续函数或分段连续函数;f(t)的增大是指数级的,即当t充分大后满足不等式,其中MC都是实常数,则

称为函数f(t)的拉普拉斯变换,简称拉氏变换,并用算符“L”表示,其中,已知函数f(t)称为原函数,变换所得的函数F(s)称为象函数,s称为拉普拉斯算子。
L[f(t)]=F(s),则
L-1[F(s)]=f(t)
称为拉氏逆变换。
拉氏变换的性质
L[af(t)]=aL[f(t)]  (线性性质)
L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]  (线性性质)
L-1[aF1(s)+bF2(s)]=aL-1[F1(s)]+bL-1[F2(s)]  (线性性质)
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)  (微分定理)
L[f"(t)]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)  (微分定理)
L[f(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f'(0)-…-f(n-1)(0)  (微分定理)
  (积分定理)
  (积分定理)
L[eatf(t)]=F(s-a)  (位移定理)
L[f(t-τ)]=e-F(s)  (延迟定理)
LaF(as)  (时间尺度定理)
L[(-t)nf(t)]=  (象函数微分定理)
  (象函数积分定理)
sF(s)  (初值定理)
sF(s)  (终值定理)
L[f1(t)f2(t)]=F1(s)F2(s)  (卷积定理)
式中f1(t)f2(t)=
拉氏变换简表
F(s)=L[f(t)] f(t)
1 单位脉冲  δ(t)
单位阶跃
单位斜坡
   (n=1,2,3,…)
e-at
te-at
(1-at)e-at

(n=1,2,3,…)
(n=1,2,3,…)
(abc不等)
(abc不等)
(a,b,c不等)
e-atcos bt
e-atcosh bt
e-atsinh bt
cos at
cos(at+b)
sin(at+b)
cosh at
tcos at
cos at-cos bt

f=arc tan Tb

应用拉氏变换解常系数线性微分方程
用拉氏变换求解时,由于初始条件已经包括在微分方程的拉氏变换中,不再像古典法需要根据初始条件求算积分常数。
当所有变量的初始条件均为零时,微分方程的拉氏变换可简单地用算子s置换,用s2置换,…,用sn置换等,并将y(t),x(t)代之以象函数Y(s),X(s)后求得,所有这一切,使对微分方程的求解得到相当程度的简化。
一般步骤 设所给常系数线性微分方程为

(1)对方程的两边逐项做拉氏变换(结合所给初始条件),且记L[x(t)]=X(s),即得X(s)的一次代数方程,然后解出X(s)。
(2)对X(s)的表达式两边做拉氏逆变换(可通过查拉氏变换表得到),若表达式的右边为有理函数时,则可以将它展开成部分分式之和,并把它写成拉氏变换表中可以找到的以s为参量的简单函数,最终得出满足初始条件的解。
传递函数
线性定常系统(常系数线性微分方程所描述的系数)的传递函数,定义为:初始条件为零时,系统的输出量(响应函数)的拉氏变换与其输入量(激励函数)的拉氏变换之比。
对于单输入-单输出的线性定常系统的微分方程,可用以下一般形式表示:

式中 y(t)——输出量;
x(t)——输入量;
nm——阶次,一般nm
设初始条件为零,对上式进行拉氏变换,就可得到此微分方程的拉氏变换式:
(ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0)Y(s)=(bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0)X(s)
式中 Y(s)——输出函数的拉氏变换,Y(s)=L[y(t)]
X(s)——输入函数的拉氏变换,X(s)=L[x(t)]。
于是,即可求得线性定常系数的传递函数G(s)

传递函数G(s)是由微分方程系数和复变数s组成的有理分式函数,它表达了系统本身的固有特性,是在复域内描述线性系统动态行为的数学模型。
矩阵的概念
名  称 阵 列 形 式 说   明





mn列矩阵 (1)mn个数aij(i=1,2,…,mj=1,2,…,n)按一定的次序排成mn列的阵列
(2)矩阵记作A(或BC…),也可记作Am×n或(aij)m×n
(3)aij称为矩阵的第i行第j列元素。aii称为对角元
方  阵 (1)这是n阶方阵,可记作Bn
(2)方阵的行数与列数相等
(3)b11,b22,…bnn这条线称为主对角线
行矩阵 A=(a1a2…an) (1)这是1行n列矩阵
(2)行矩阵也称行向量
(3)元素ai(i=1,2,…,n)可用一个下标表示
列矩阵 (1)这是n行1列矩阵
(2)列矩阵也称列向量
(3)元素bi(i=1,2,…,n)可用一个下标表示





对角阵 (1)这是全部非主对角线元素等于0的方阵
(2)元素ai(i=1,2,…,n)表示位于第i行第i
(3)排列有规律的0元素可以省写
数量矩阵 对角阵的所有对角元都相等
单位阵 (1)单位阵是方阵
(2)所有对角元全为1
(3)单位阵记作I,为说明其阶数,把n阶单位阵记作In
上三角阵 n阶方阵的主对角线以下的元素全为零,即uij=0,ij
下三角阵 n阶方阵的主对角线以上的元素全为零,即
lij=0,ij
上梯形阵 1.当mn

2.当mn
mn列矩阵中,对角元以下的元素全为零,即
aij=0,ij
下梯形阵 1.当mn

2.当mn
mn列矩阵中,对角元以上的元素全为零,即
aij=0,ij
零矩阵 所有元素都是零的矩阵,记作0或0m×n
负矩阵 (1)设A=(aij)m×nA的负矩阵为
-A=(-aij)m×n
(2)-(-A)=A
矩阵相等 (1)矩阵相等时,对应位置的元素相等,即
aijbiji=1,2,…,m
j=1,2,…,n
记作AB
(2)同阶矩阵才能相等
矩阵转置 (1)设A=(aij)m×n
A的转置矩阵AT为AT=(a'ij)n×m
其中 a'ijaji
(2)(AT)T=A
(3)对角阵的转置仍是它自身。特别有T=I
对称矩阵 (1)对称矩阵必是方阵
其中   aijaji
(2)转置后不变,即
AT=A
矩阵运算及其性质
名称 运  算  式 说明及运算性质





(1)矩阵加减时对应位置的元素相加减
(2)同阶矩阵才能相加减
(3)运算性质
A+BB+A交换律
(A+B)+CA+(B+C)结合律




cijaij±bij




(1)数乘矩阵时,该数乘矩阵的每一个元素
(2)运算性质
kAAk
k(A+B)=kA+kB分配分律




cijkaij




(1)矩阵相乘时乘积的元素cij等于左矩阵的第i行和右矩阵的第j列的对应元素的乘积之和
(2)左矩阵的列数等于右矩阵的行数时才能相乘
(3)运算性质
(AB)CA(BC)结合律
A(B+C)=AB+AC
(B+C)ABA+CA
注意,一般ABBA








(1)方阵的幂是同一方阵的连乘积
(2)a0An+a1An-1+…+anI叫做方阵多项式
(3)运算性质
pqp+q
(p)qpq



A0=I
Ap=




矩阵微分即对矩阵的每一个元素求微分



A的元素是t的函数aijaij(t),则




矩阵积分即矩阵的每一个元素积分
例如



A的元素是t的函数aijaij(t),则
矩阵运算性质与数的运算性质比较
  数  的  运  算 矩阵的运算


a+bb+a A+BB+A  加法交换律
(a+b)+ca+(b+c) (A+B)+CA+(B+C)  加法结合律
k(a+b)=ka+kb k(A+B)=kA+kB  加法分配律
(k1+k2)ak1a+k2a (k1+k2)Ak1A+k2A
a+0=a A+0=A
a(bc)=(ab)c A(BC)=(AB)C  乘法结合律
(a+b)cac+bc (A+B)CAC+BC  乘法分配律


abba 一般地  ABBA  不满足交换律
ab=0   ab至少有一个为0 AB=0  可能AB均不为0
(ab)2=a2b2 一般地  (AB)2≠A2B2
(a+b)2=a2+2ab+b2 一般地  (AB)2≠A2+2AB+B2
a2-b2=(a+b)(a-b) 一般地  A2-B2≠(A+B)(A-B)
分块矩阵及其运算
名称 阵列形式及运算式 说   明
分块矩阵 (1)分划原矩阵A=(aij)m×n的横、竖虚线条数及分划位置根据计算方便而定
(2)被划分的每一块低阶矩阵称为子矩阵或子块
准对角阵 主对角线上的子块A1,A2,…,Al都是方阵,其他子块都是零矩阵
分块矩阵加减 两个具有相同分划方式的分块矩阵可以按块相加或相减,作为其和或差的分块矩阵仍保持原分划方式
注意,分划方式不同的分块矩阵不能按块相加或相减
分块矩阵的数量乘法 k乘分块矩阵的每一子块后,仍保持原分划方式
分块矩阵相乘 A的列从左到右的分划方式与B的行自上而下的分划方式相同(即A中子块A1i的列数与B中子块Bi1的行数相同(i=1,2,…,n)),则AB可以按块相乘,其乘积仍为分块矩阵
分块矩阵转置 分块矩阵的转置,不仅仅是把每个子块看作元素后对矩阵作转置,而且每个子块本身还要转置
方阵的行列式和代数余子式
名称 方阵的行列式 代 数 余 子 式
定义 方阵A的行列式是指由方阵A的所有元素(位置不变)组成的行列式,记为或det A 方阵A的任意元素aij的代数余子式是行列式的对应元素aij的代数余子式,记为Aij

例如的元素a32=5的代数余子式是
A32=(-1)3+2=(-1)5(1×2-4×1)=2



aij的代数余子式Aij是将行列式中的第i行及第j列划去后剩下的低一阶的行列式乘以(-1)i+j
A12=(-1)1+2
非奇异矩阵正交矩阵伴随矩阵
名称 定   义 性   质
非奇异矩阵 设方阵A=(aij)n×n,若,则A是非奇异矩阵(若,则A是奇异矩阵) (1)若数k≠0,则kA为非奇异矩阵
(2)若AB为同阶非奇异矩阵,则ABBA为非奇异矩阵
(3)非奇异矩阵转置AT仍为非奇异矩阵
正交矩阵 设方阵A=(aij)n×n,若
ATAAAT=I
其中为 阶单位阵,则为 阶正交矩阵
(1)
(2)A是非奇异的
伴随矩阵 由方阵A的每一个元素aij的代数余子式Aij替换对应元素aij所形成的矩阵经过转置而得到的方阵叫做A的伴随矩阵,记为A*或adjA。即
(1)AA*=IA*A
(2)(AB)*=**
(3)
矩阵的初等变换
序号 初  等  变  换 三  阶  举  例
(1) 用常数k(≠0)乘 的第 i
或者
(1)' 用常数k(≠0)乘 的第 j
(2) 的第 行加上第 行的k
或者
(2)' 的第 列加上第 列的k
(3) 的第 行与第 行交换
或者
(3)' 的第 列与第 列交换
初等矩阵及其与初等变换的关系
初  等  矩  阵 和单位矩阵的不同 与初等变换的关系 三 阶 举 例
将单位矩阵(ii)位置的1换成k E(i(k))左(或右)乘A等价于对A作初等变换(1)[或(1)']
将单位矩阵(ij)位置的0换成k E(ij(k))左(或右)乘A等价于对A作初等变换(2)[或(2)']
将单位矩阵(ii),(jj)位置的1换成0,将(ii),(jj)位置的0换成1 E(ij)左乘A等价于对A作初等变换(3)
或者E(ij)右乘A等价于对A作初等变换(3)'

注:若矩阵B 可由矩阵A 经过有限次初等变换得到,则称矩阵B 与A 等价。
矩阵的秩
名  称 定  义  及  说  明
矩阵的秩 设矩阵A=(aij)m×n
Am(n)个行(列)向量所组成的向量组,其最大线性无关组所含向量的个数称为A的行(列)秩。矩阵的行秩与列秩相等,矩阵的行秩与列秩的公共值称为矩阵的秩,记作r(A)。
矩阵经初等变换后其秩不变,因而等价矩阵有相同的秩
上梯形阵的秩 A为上梯形阵
下梯形阵的秩 B为下梯形阵
矩阵的标准形 若矩阵Am×n与形如

标准形中主对角线上的对角元1的个数等于A的秩r(A)
满秩方阵 设方阵A=(aij)n×n,若r(A)=n,则称A是满秩的。
满秩方阵的标准形是单位阵,而且仅用行初等变换可将满秩方阵化为单位阵
矩阵秩的求法 方法1 对矩阵A进行初等变换,化为上(下)梯形阵,其非零行的行数即为A的秩。也可以化为标准形,其主对角线上的元素1的个数等于A的秩
方法2 按定义求秩
方法3 找出A的不等于零的子式的最高阶数,即为A的秩r(A)
逆矩阵的计算
计  算  公  式 运  算  性  质
A=(aij)n×n是可逆的,则
(A-1)-1=A    (kA)-1=k-1A-1(k≠0)
(AB)-1=B-1A-1    (AT)-1=(A-1)T
ABC,则BA-1C
说  明 如果 阶方阵B 左乘(或右乘)同阶方阵得到单位阵I,即BAABI,则B叫做的逆矩阵,记为 BA-1,显然,都是可逆的、满秩的、非奇异的
对于高阶方阵用公式求逆比较麻烦,可用初等行变换法求逆,即
即在对 A 进行初等行变换的同时,对单位阵也进行同样的初等行变换,这样将 A 化为单位阵 的同时,原 I 就化为A-1
矩阵线性方程组
线性 方 程 组 及 其 解 的 判 别 n个未知量m个方程的线性方程组




mn,且时,方程组有惟一解,XA-1Bm
r(A)=r()=n,方程组有惟一解,若r(A)<r(),方程组无解,
r(A)=r()<n,方程组有无穷多解。齐次方程组有非零解的充要条件是r(A)<n
线性
方程
组的
解法
非齐次线性方程组的解法 齐次线性方程组的解法
第一步:写出方程组的增广矩阵
第二步:利用矩阵的初等行变换将化为梯形阵或标准形
第三步:从梯形阵中即可判断方程组是否有解,若有解可求出其解
第一步:写出方程组的系数矩阵A
第二步:利用矩阵的初等行变换将A化为梯形阵或标准形
第三步:从梯形阵中解出方程组的解
常用几何体的面积体积及重心位置
S——重心位置;An——全面积;A——侧面积;V——体积
1.圆球体 2.正圆柱体
B1D1d78A An=4πr2=πd2
V
B1D1D78B
An=2πr(h+r)
A=2πrh
V=πr2h
3.斜截圆柱体 4.平截正圆锥体
B1D1D78C

A=πr(h2+h1)

B1D1D78D
A=πl(R+r)
AnA+π(R2+r2)

5.正圆锥体 6.球面扇形体
B1D1D78E
A=πrl
An=πr(l+r)

B1D1D78F
An=πr(2h+a)
A=πar
7.棱锥体 8.平截长方棱锥体
b1d1d78g

(Ab为底面积,此式适用于底面为任意多边形的棱锥体)

n—侧面面数
b1d1d78h
(此式适用情况同下面V)

(At,Ab分别为顶、底面积,此式适用底面为任意多边形的平截角锥体)
9.空心圆柱体 10.平截空心圆锥体
b1d1d78i
A=πh(D+d)
B1D1D78J

11.球缺 12.平截球台体
B1D1D78K


An=πh(4r-h)
b1d1d78l
式中,第2项“+”为球心在球台体之内,“-”为球心在球台体之外
A=2πRh


13.楔形体 14.圆环
B1D1D78M
B1D1D78N An=4π2Rr=39.478Rr
15.桶形 16.椭圆球
089 对于抛物线形桶板:

对于圆形桶板:
089-1
(An不能用简单公式表示)
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