第三章 空间力系

发布日期:[08-12-05 16:08:25] 浏览人次:[]

静力学

第三章 空间力系

空间力系是各力的作用线不在同一平面内的力系。这是力系中最一般的情形。许多工程结构和机械构件都受空间力系的作用,例如车床主轴、桅式起重机、闸门等。对它们进行静力分析时都要应用空间力系的简化和平衡理论。
本章研究空间力系的简化和平衡问题,并介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。与研究平面力系相似,空间力系的简化与平衡问题也采用力系向一点简化的方法进行研究。

第一节空间力的分解与投影

一、空间力的分解
如图3-1所示,设力F 沿直角坐标轴的分力分别为FxFyFz,则
(3-1)


图3-1

F的三个分力可以用它在三个相应轴上的投影来表示:
(3-2)
(3-3)
其中ijk分别是x、y、z轴的正向单位矢量。

二、空间力的投影
1.直接投影法
如图3-2所示,若已知力F与空间直角坐标轴x、y、z正向之间夹角分别为α、β、γ,以FxFyFz表示力F在x、y、z三轴上的投影,则

(3-4)
力在坐标轴上的投影为代数量。在式(3-4)中,当α、β、γ为锐角时,投影为正,反之为负。


图3-2


2.二次投影法

若力F在空间的方位用图3-3所示的形式来表示, 其中γ为力F与z轴的夹角,φ为力F所在铅垂平面与x轴的夹角,则可用二次投影法计算力F在三个坐标轴上的投影。
先将力F向z轴和xy平面投影,得

注意:力在平面上的投影Fxy为矢量。
再将Fxy向x、y轴投影,得

因此
(3-5)


图3-3

反之,若已知力在直角坐标轴上的投影,则可以确定该力的大小和方向。

(3-6)
其中α、β、γ为力F分别与x、y、z轴正向的夹角。

第三章 第一节 空间力的分解和投影(例题3-1)

例3-1 在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F,如图3-4a所示。试求该力分别在x、y、z轴上的投影。


图3-4

【解】
方法一:直接投影法
如图3-4b所示,由空间几何可得

则力在三轴上的投影为


方法二:二次投影法
如图3-4c所示,由空间几何可得

根据二次投影法,得

第二节力对点之矩与力对轴之矩

一、力对点之矩
在平面问题中,力F与矩心O 在同一平面内,用代数量MO(F)就足以概括力对O点之矩的全部要素。但在空间问题中,由于各力与矩心O所决定的平面可能不同,这就导致各力使刚体绕同一点转动的方位也可能不同。为了反映转动效应的方位,力对点之矩必须用矢量表示。
如图3-5所示,设力F沿作用线AB,O点为矩心,则力对一点之矩可用矢量表示,称为力矩矢,用MO(F)表示,力矩矢MO(F)的始端为O点,它的模(即大小)等于力与力臂d的乘积,方位垂直于力F与矩心O所确定的平面,指向可按右手法则来确定。由图3-5可见

(3-7)
式中, 表示三角形OAB的面积。


图3-5

由以上定义可见,力矩矢MO(F)的大小和方向与矩心O的位置有关,即力矩矢MO(F)是一个定位矢量
力矩矢MO(F)还可以用另一种数学形式来表示。如图3-5所示,如用r 表示O点到力F作用点A的矢径,则rF的矢量积r ×F也是一个矢量,按矢量积的定义,其大小等于三角形OAB面积的两倍,其方位垂直于rF所决定的平面,指向也符合右手法则。可见,矢积r ×F与力矩矢MO(F)两者大小相等,方向相同,于是

MO(F)r ×F (3-8)

力矩矢MO(F)等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积

二、力对轴之矩
在空间力系问题中,除了用力对点之矩来描述力对刚体的转动效应外,还要用到力对轴之矩的概念。这里从用手推门的实例来引入力对轴之矩的定义。
如图3-6a所示,在门边上的A点作用一力F,为了研究力F使门绕z轴转动的效应,可将力分解为两个分力FzFxy,其中Fz与z

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