第十一章 动量矩定理

发布日期:[08-12-05 16:42:54] 浏览人次:[]

第十一章 动量矩定理

本章介绍动量矩定理,它建立了质点系动量矩与外力主矩之间的关系,并以此为基础,导出刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程。

第一节 动量矩的概念

动量是描述质点系机械运动强弱的一个物理量,但它只能反映质点系随质心的平动,而不能反映质点系相对于质心的转动。例如,圆轮绕质心转动时,无论它怎样转动,圆轮的动量恒为零,可见,此时动量就不能描述该圆轮的运动,而必须用动量矩这一物理量来描述



一、 质点的动量矩

1.质点对固定点的动量矩
设质点M的质量为m,某瞬时的速度为v,质点相对于固定点O的矢径为r,如图11-1所示。与第三章中空间力对点之矩的定义相似,质点对固定点的动量矩定义为:质点M的动量对于O点的矩,称为质点对于O点的动量矩,即


(11-1)

可见,质点对于固定点O的动量矩是固定矢量,它垂直于矢径r与mv所形成的平面,指向按右手法则确定,其大小为

式中 表示三角形OMA的面积。



图11-1

2.质点对固定轴的动量矩
与空间力对轴之矩的定义相似,质点对固定轴的动量矩定义为:质点动量mv在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点 O的矩,称为质点对于z轴的动量矩,即

(11-2)

质点对于固定轴z的动量矩是代数量,其正负号的规定与空间力对轴之矩的正负号规定相同。
质点对固定点O的动量矩与对固定轴z的动量矩的关系为:质点对固定点O的动量矩在过O点的某一轴z上的投影,等于质点

对z轴的动量矩,即

[LO]z= Lz(11-3)

动量矩的量纲为

dim L=ML2T-1

在国际单位制中,动量矩的单位为 kg·m2/s

二、质点系的动量矩

质点系中各质点对固定点O的动量矩的矢量和称为质点系对固定点O的动量矩,或质点系动量对O点的主矩,即

(11-4)

同样,质点系中各质点对同一轴z的动量矩的代数和称为质点系对固定轴z的动量矩,即

(11-5)

由式(11-1)~式(11-5)容易得到

[LO]z= Lz(11-6)

即质点系对固定点O的动量矩在过O点的某一轴z上的投影,等于质点系对z轴的动量矩。
刚体的平动和转动是刚体的两种基本运动,对于这两种运动刚体的动量矩,可根据动量矩的定义进行计算。刚体平动时,可将刚体视为一个全部质量集中于质心的质点来计算其动量矩。下面计算刚体定轴转动时的动量矩。

三、定轴转动刚体对转轴的动量矩


设刚体以角速度w绕固定轴z转动,如图11-2所示,则它对转轴的动量矩为

,Jz称为刚体对于z轴的转动惯量。则

Lz=Jzω(11-7)

定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积



图11-2

第二节转动惯量

一、转动惯量的概念

由上节可知,刚体对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和,即

(l1-8)

可见,转动惯量恒为正标量,其大小不仅与刚体质量大小和质量的分布情况有关,还与z轴的位置有关。转动惯量是刚体定轴转动时惯性的度量,这一点将在本章第四节中说明。

当质量连续分布时,刚体对z轴的转动惯量可写为

(l1-9)

转动惯量的量纲为

dim J=ML2

在国际单位制中,转动惯量的单位为kg·m2

二、回转半径

工程上常把刚体的转动惯量表示为

(l1-10)

式中,ρz称为刚体对z轴的回转半径(或惯性半径),即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积
式(11-10)说明,如果把刚体的质量全部集中于与转轴垂直距离为ρz的一点处,则这一集中质量对于z轴的转动惯量,就正好等于原刚体的转动惯量。
几何形状相同的均质刚体的回转半径是相同的。在国际单位制中,回转半径的单位为m。

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